Regler för längden på triangelns sidor

Euklidisk geometri, den grundläggande geometrin som undervisas i skolan, kräver vissa förhållanden mellan sidorna av en triangel. Man kan inte bara ta tre slumpmässiga linjesegment och bilda en triangel. Linjesegmenten måste uppfylla trekantens olikhetssatser. Andra satser som definierar förhållanden mellan sidorna av en triangel är den pythagoreiska satsen och cosinuslagen.

Enligt den första triangelns olikhetssats måste längderna på alla två sidor i en triangel uppgå till mer än längden på den tredje sidan. Det betyder att du till exempel inte kan rita en triangel som har sidlängderna 2, 7 och 12, eftersom 2 + 7 är mindre än 12. För att få en intuitiv känsla för detta, tänk dig att först rita ett 12 cm långt linjesegment. Tänk nu på två andra linjesegment som är 2 cm och 7 cm långa fästa vid de två ändarna av 12 cm-segmentet. Det är uppenbart att det inte skulle vara möjligt att få de två ändsegmenten att mötas. De måste lägga upp minst 12 cm.

Den längsta sidan i en triangel är mittemot den största vinkeln. Detta är en annan triangel olikhetssats och det är intuitivt meningsfullt. Du kan dra olika slutsatser av det. Till exempel, i en tråkig triangel, måste den längsta sidan vara den som ligger mittemot den trubbiga vinkeln. Det omvända av detta är också sant. Den största vinkeln i en triangel är den som är mittemot den längsta sidan.

Den pythagoreiska satsen säger att i en rätt triangel är kvadraten på längden på hypotenusen (sidan tvärs från den rätta vinkeln) lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna. Så om längden på hypotenusen är c ​​och längderna på de andra två sidorna är a och b, då är c ​​^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Detta är en gammal sats som har varit känd i tusentals år och har använts av byggare och matematiker genom tiderna.

Lagen om cosinus är en generaliserad version av den pythagoreiska satsen som gäller alla trianglar, inte bara de med rät vinkel. Enligt denna lag, om en triangel hade sidor med längden a, b och c, och vinkeln tvärs över sidan av längden c är C, då är c ​​^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2abcosC. Du kan se att när C är 90 grader, cosC = 0 och cosinuslagen reduceras till Pythagoras sats.