I vardagssamtal används ofta "hastighet" och "hastighet" omväxlande. I fysik har emellertid dessa termer specifika och tydliga betydelser. "Hastighet" är förflyttningshastigheten för ett objekt i rymden, och det ges endast av ett nummer med specifika enheter (ofta i meter per sekund eller miles per timme). Hastighet är å andra sidan en hastighet kopplad till en riktning. Hastighet kallas då en skalär kvantitet, medan hastighet är en vektormängd.
När en bil zippar längs en motorväg eller en baseboll surrar genom luften mäts hastigheten på dessa föremål med hänvisning till marken, medan hastigheten innehåller mer information. Till exempel, om du är i en bil som reser 70 miles i timmen på Interstate 95 på East Coast of the USA, det är också bra att veta om det är på väg nordost mot Boston eller söderut mot Florida. Med basebollet kanske du vill veta om dess y-koordinat förändras snabbare än dess x-koordinat (en flugboll) eller om det motsatta är sant (en linjedrift). Men hur är det med att snurra däcken eller rotera (snurra) på baseboll när bilen och bollen rör sig mot sin slutdestination? För den här typen av frågor erbjuder fysiken begreppet
vinkelhastighet.Grunderna i rörelse
Saker rör sig genom tredimensionellt fysiskt utrymme på två huvudsakliga sätt: översättning och rotation. Översättning är förskjutningen av hela objektet från en plats till en annan, som en bil som kör från New York City till Los Angeles. Rotering, å andra sidan, är ett objektets cykliska rörelse runt en fast punkt. Många föremål, såsom baseboll i exemplet ovan, uppvisar båda typerna av rörelse samtidigt; när en flugboll rör sig genom luften från hemmaplan mot utfältets staket, snurrar den också i en viss takt runt sitt eget centrum.
Att beskriva dessa två typer av rörelser behandlas som separata fysikproblem; det vill säga när man beräknar avståndet som bollen färdas genom luften baserat på saker som dess ursprungliga startvinkel och hastigheten med vilken den lämnar fladdermusen, du kan ignorera dess rotation och när du beräknar dess rotation kan du behandla den som att sitta på ett ställe för närvarande syften.
Vinkelhastighetsekvationen
Först, när du pratar om "vinkel" vad som helst, vare sig det är hastighet eller någon annan fysisk storlek, inse att eftersom du har att göra med vinklar, pratar du om att resa i cirklar eller delar därav. Du kan komma ihåg från geometri eller trigonometri att omkretsen av en cirkel är dess diameter gånger konstant pi, ellerπd. (Värdet på pi är ungefär 3.14159.) Detta uttrycks oftare i termer av cirkelns radier, som är halva diametern, vilket gör omkretsen2πr.
Dessutom har du antagligen lärt dig någonstans längs vägen att en cirkel består av 360 grader (360 °). Om du flyttar ett avstånd S längs en cirkel är vinkelförskjutningen θ lika med S / r. En full revolution ger då 2πr / r, som bara lämnar 2π. Det betyder att vinklar mindre än 360 ° kan uttryckas i termer av pi eller med andra ord som radianer.
Genom att ta alla dessa bitar av information kan du uttrycka vinklar eller delar av en cirkel i andra enheter än grader:
360 ^ o = (2 \ pi) \ text {radianer, eller} 1 \ text {radian} = \ frac {360 ^ o} {2 \ pi} = 57.3 ^ o
Medan linjär hastighet uttrycks i längd per tidsenhet mäts vinkelhastigheten i radianer per tidsenhet, vanligtvis per sekund.
Om du vet att en partikel rör sig i en cirkulär bana med en hastighetvpå ett avståndrfrån centrum av cirkeln, med riktningen avvalltid vinkelrätt mot cirkelns radie, då kan vinkelhastigheten skrivas
\ omega = \ frac {v} {r}
varωär den grekiska bokstaven omega. Vinkelhastighetsenheter är radianer per sekund; du kan också behandla den här enheten som "ömsesidiga sekunder", eftersom v / r ger m / s dividerat med m, eller s-1, vilket betyder att radianer tekniskt sett är en enhetslös kvantitet.
Rotationsrörelseekvationer
Vinkelaccelereringsformeln härleds på samma väsentliga sätt som vinkelhastighetsformeln: Det är bara den linjära accelerationen i en riktning vinkelrät mot en cirkelradie (motsvarande dess acceleration längs en tangent till cirkelbanan vid vilken punkt som helst) dividerad med radien för cirkeln eller delen av en cirkel, vilken är:
Detta ges också av:
\ alpha = \ frac {\ omega} {t}
för för cirkulär rörelse:
a_t = \ frac {\ omega r} {t} = \ frac {v} {t}
α, som du säkert vet, är den grekiska bokstaven "alfa". Subskriptet "t" betecknar här "tangent".
Märkligt nog har dock rotationsrörelse en annan typ av acceleration, kallad centripetal ("centrumsökande") acceleration. Detta ges av uttrycket:
a_c = \ frac {v ^ 2} {r}
Denna acceleration riktas mot den punkt runt vilken objektet i fråga roterar. Detta kan tyckas konstigt, eftersom objektet inte närmar sig denna centrala punkt sedan radienrär fixad. Tänk på centripetalacceleration som ett fritt fall där det inte finns någon risk för att objektet träffar marken, för den kraft som drar objekt mot det (vanligtvis gravitation) kompenseras exakt av den tangentiella (linjära) accelerationen som beskrivs av den första ekvationen i detta avsnitt. Omacinte var lika medatskulle objektet antingen flyga ut i rymden eller snart krascha in i mitten av cirkeln.
Relaterade kvantiteter och uttryck
Även om vinkelhastigheten vanligtvis uttrycks, som noterat, i radianer per sekund, kan det finnas fall där den är föredraget eller nödvändigt att använda grader per sekund istället, eller omvänt, att konvertera från grader till radianer innan man löser en problem.
Säg att du fick höra att en ljuskälla roterar 90 ° varje sekund med konstant hastighet. Vad är dess vinkelhastighet i radianer?
Kom först ihåg att 2π radianer = 360 ° och ställ in en proportion:
\ frac {360} {2 \ pi} = \ frac {90} {\ omega} \ innebär 360 \ omega = 180 \ pi \ innebär \ omega = \ frac {\ pi} {2}
Svaret är en halv pi radian per sekund.
Om du vidare fick veta att ljusstrålen har ett räckvidd på 10 meter, vad skulle vara toppen av strålens linjära hastighetv, dess vinkelaccelerationαoch dess centripetala accelerationac?
Att lösa förv, från ovan, v = ωr, där ω = π / 2 och r = 10m:
\ frac {\ pi} {2} 10 = 15.7 \ text {m / s}
Att hittaαantar att vinkelhastigheten uppnås på 1 sekund, sedan:
\ alpha = \ frac {\ omega} {t} = \ frac {\ pi / 2} {1} = \ frac {\ pi} {2} \ text {rad / s} ^ 2
(Observera att detta bara fungerar för problem där vinkelhastigheten är konstant.)
Slutligen, också ovanifrån,
a_c = \ frac {v ^ 2} {r} = \ frac {15.7 ^ 2} {10} = 24.65 \ text {m / s} ^ 2
Vinkelhastighet vs. Linjär hastighet
Bygg på det tidigare problemet, föreställ dig själv på en mycket stor karusell, en med en osannolik radie på 10 kilometer (10 000 meter). Denna karusell gör en fullständig revolution var 1: e minut och 40: e sekund, eller var 100: e sekund.
En konsekvens av skillnaden mellan vinkelhastigheten, som är oberoende av avståndet från rotationsaxel och linjär cirkulär hastighet, vilket inte är, är att två personer upplever sammaωkan genomgå mycket olika fysiska erfarenheter. Om du råkar vara 1 meter från centrum om denna förmodade, massiva karusell är din linjära (tangentiella) hastighet:
v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (1) = 0,0628 \ text {m / s}
eller 6,29 cm (mindre än 3 tum) per sekund.
Men om du befinner dig på kanten av detta monster är din linjära hastighet:
v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (10000) = 628 \ text {m / s}
Det är ungefär 1 406 mil i timmen, snabbare än en kula. Vänta!