I matematik används ett motexempel för att motbevisa ett uttalande. Om du vill bevisa att ett uttalande är sant, måste du skriva ett bevis för att visa att det alltid är sant. att ge ett exempel räcker inte. Jämfört med att skriva ett bevis är det mycket enklare att skriva ett motexempel. om du vill visa att ett uttalande inte är sant behöver du bara ge ett exempel på ett scenario där uttalandet är falskt. De flesta motexempel i algebra innebär numeriska manipulationer.
Två klasser av matematik
Bevisskrivning och att hitta motexempel är två av matematikens primära klasser. De flesta matematiker fokuserar på provskrivning för att utveckla nya satser och egenskaper. När uttalanden eller antaganden inte kan bevisas sanna, motbeviser matematiker dem genom att ge motexempel.
Motexempel är konkreta
Istället för att använda variabler och abstrakta noteringar kan du använda numeriska exempel för att motbevisa ett argument. I algebra innebär de flesta motexempel manipulation med olika positiva och negativa eller udda och jämna siffror, extrema fall och specialnummer som 0 och 1.
Ett motexempel är tillräckligt
Motexemplets filosofi är att om uttalandet inte är sant i ett scenario, så är uttalandet falskt. Ett icke-matematiskt exempel är "Tom har aldrig sagt en lögn." För att visa att detta uttalande är sant måste du ge "bevis" på att Tom aldrig har sagt en lögn genom att spåra alla uttalanden som Tom någonsin har gjort. Men för att motbevisa detta uttalande behöver du bara visa en lögn som Tom någonsin har talat.
Berömda motexempel
"Alla primtal är udda." Även om nästan alla primtal, inklusive alla primtal över 3, är udda, är "2" ett primtal som är jämnt; detta uttalande är falskt; "2" är det relevanta motexemplet.
"Subtraktion är kommutativ." Både addition och multiplikation är kommutativa - de kan utföras i valfri ordning. Det vill säga, för alla reella tal a och b, a + b = b + a och a * b = b * a. Subtraktion är emellertid inte kommutativ; ett motexempel som visar att detta är: 3 - 5 motsvarar inte 5 - 3.
"Varje kontinuerlig funktion är differentierbar." Den absoluta funktionen | x | är kontinuerligt för alla positiva och negativa tal; men det är inte differentierbart vid x = 0; sedan | x | är en kontinuerlig funktion, detta motexempel bevisar att inte varje kontinuerlig funktion är differentierbar.