Ако знате две тачке које падају на одређену експоненцијалну криву, криву можете дефинисати решавањем опште експоненцијалне функције помоћу тих тачака. У пракси то значи замену тачака за и и к у једначини и = абИкс. Поступак је лакши ако је вредност к за једну од тачака 0, што значи да је тачка на и оси. Ако ниједна тачка нема нулу к-вредности, поступак решавања к и и је мало сложенији.
Зашто су експоненцијалне функције важне
Многи важни системи прате експоненцијалне обрасце раста и пропадања. На пример, број бактерија у колонији обично се експоненцијално повећава, а околно зрачење у атмосфери након нуклеарног догађаја обично се експоненцијално смањује. Узимајући податке и цртајући криву, научници су у бољој позицији да дају предвиђања.
Од пара тачака до графикона
Било која тачка на дводимензионалном графу може бити представљена са два броја, која су обично записана у облик (к, и), где к дефинише хоризонталну удаљеност од исходишта, а и представља вертикалну удаљеност. На пример, тачка (2, 3) је две јединице десно од осе и и три јединице изнад осе к. С друге стране, тачка (-2, -3) је две јединице лево од осе и. и три јединице испод осе к.
Ако имате два бода, (к1, г.1) и (к2, г.2), експоненцијалну функцију која пролази кроз ове тачке можете дефинисати заменом у једначини и = абИкс и решавање за а и б. Генерално, морате да решите овај пар једначина:
г.1 = абк1 и г.2 = абк2, .
У овом облику математика изгледа мало компликовано, али изгледа мање након што направите неколико примера.
Једна тачка на оси Кс.
Ако је једна од к вредности - рецимо к1 - је 0, операција постаје врло једноставна. На пример, решавање једначине за тачке (0, 2) и (2, 4) даје:
2 = аб0 и 4 = аб2. Пошто знамо да б0 = 1, прва једначина постаје 2 = а. Заменом а у другој једначини добија се 4 = 2б2, коју поједностављујемо на б2 = 2, или б = квадратни корен из 2, што је приближно приближно 1,41. Функција дефинисања је тада и = 2 (1,41)Икс.
Ни тачка на оси Кс.
Ако ниједна к вредност није нула, решавање пара једначина је нешто гломазније. Хеноцхматх води нас кроз лак пример да разјаснимо овај поступак. У свом примеру је изабрао пар поена (2, 3) и (4, 27). Ово даје следећи пар једначина:
27 = аб4
3 = аб2
Ако прву једначбу поделите са другом, добићете
9 = б2
па је б = 3. Могуће је да и б буде једнако -3, али у овом случају претпоставимо да је позитивно.
Ову вредност можете заменити за б у било којој једначини да бисте добили а. Једноставније је користити другу једначину, па:
3 = а (3)2 што се може поједноставити на 3 = а9, а = 3/9 или 1/3.
Једначина која пролази кроз ове тачке може се записати као и = 1/3 (3)Икс.
Пример из стварног света
Од 1910. године раст људске популације је експоненцијалан, а цртањем криве раста научници су у бољој позицији да предвиде и планирају будућност. 1910. године светска популација је била 1,75 милијарди, а 2010. 6,87 милијарди. Узимајући 1910 за почетну тачку, ово даје пар бодова (0, 1,75) и (100, 6,87). Будући да је к-вредност прве тачке нула, лако можемо пронаћи а.
1,75 = аб0 или а = 1,75. Укључивањем ове вредности, заједно са вредностима друге тачке, у општу експоненцијалну једначину добија се 6,87 = 1,75б100, што даје вредност б као стоти корен од 6,87 / 1,75 или 3,93. Дакле, једначина постаје и = 1,75 (стоти корен од 3,93)Икс. Иако је за то потребно више од слајд правила, научници могу користити ову једначину за пројектовање будућег броја становништва како би помогли политичарима у садашњости да креирају одговарајуће политике.