Сви студенти математике и многи студенти природних наука сусрећу се са полиномима у некој фази студија, али на срећу са њима је лако изаћи на крај кад научите основе. Главне операције које ћете морати да урадите са полиномским изразима су сабирање, одузимање, множење и подела, и иако подела може бити сложена, већину времена ћете моћи да се носите са основама ублажити, лакоца.
Полиноми: Дефиниција и примери
Полином описује алгебарски израз са једним или више израза који укључују променљиву (или више њих), са експонентима и евентуално константама. Не могу да укључују поделу променљивом, не могу имати негативне или делимичне експоненте и морају имати коначан број чланова.
Овај пример приказује полином:
к ^ 3 + 2 к ^ 2 - 9 к - 4
А ово показује још један:
ки ^ 2 - 3 к + и
Постоји много начина за класификацију полинома, укључујући и степен (збир експонената на члану највише снаге, нпр. 3 у први пример) и по броју термина које садрже, попут монома (један појам), бинома (два члана) и тринома (три услови).
Сабирање и одузимање полинома
Сабирање и одузимање полинома зависи од комбиновања израза „свиђа ми се“. Слични израз је онај са истим променљивим и експонентима као и други, али број којим се множе (коефицијент) може бити различит. На пример,Икс2 и 4Икс 2 су попут појмова јер имају исту променљиву и експонент, и 2ки 4 и 6ки 4 су такође као појмови. Међутим,Икс2, Икс3, Икс2г.2 иг.2 нису попут појмова, јер сваки садржи различите комбинације променљивих и експонената.
Додајте полиноме комбиновањем сличних појмова на исти начин као што бисте то учинили са другим алгебарским појмовима. На пример, погледајте проблем:
(к ^ 3 + 3 к) + (9 к ^ 3 + 2 к + и)
Прикупите сличне услове да бисте добили:
(к ^ 3 + 9 к ^ 3) + (3 к + 2 к) + и
А затим процените једноставним сабирањем коефицијената и комбиновањем у један појам:
10 к ^ 3 + 5 к + и
Имајте на уму да не можете ништа да урадитег.јер нема сличан појам.
Одузимање функционише на исти начин:
(4 к ^ 4 + 3 и ^ 2 + 6 и) - (2 к ^ 4 + 2 и ^ 2 + и)
Прво имајте на уму да се сви појмови у десној загради одузимају од појмова у левој загради, па га напишите као:
4 к ^ 4 + 3 и ^ 2 + 6 и - 2 к ^ 4 - 2 и ^ 2- и
Комбинујте сличне појмове и процените да бисте добили:
(4 к ^ 4 - 2 к ^ 4) + (3 и ^ 2 - 2 и ^ 2) + (6 и - и) = 2 к ^ 4 + и ^ 2 + 5 и
За овакав проблем:
(4 ки + к ^ 2) - (6 ки - 3 к ^ 2)
Имајте на уму да се знак минус примењује на цео израз у десној загради, па су два негативна знака пре 3Икс2 постати знак сабирања:
(4 ки + к ^ 2) - (6 ки - 3 к ^ 2) = 4 ки + к ^ 2 - 6 ки + 3 к ^ 2
Затим израчунајте као и пре.
Множење полиномских израза
Множите полиномске изразе помоћу дистрибутивног својства множења. Укратко, помножите сваки члан у првом полиному са сваким чланом у другом. Погледајте овај једноставан пример:
4 к × (2 к ^ 2 + и)
Ово решавате помоћу дистрибутивног својства, па:
\ почетак {поравнато} 4 к × (2 к ^ 2 + и) & = (4 к × 2 к ^ 2) + (4 к × и) \\ & = 8 к ^ 3 + 4 ки \ крај {поравнато}
Решите се сложенијих проблема на исти начин:
\ почетак {поравнато} (2 и ^ 3 + 3 к) × & (5 к ^ 2 + 2 к) \\ & = (2 и ^ 3 × (5 к ^ 2 + 2 к)) + (3 к × (5 к ^ 2 + 2 к)) \\ & = (2 и ^ 3 × 5 к ^ 2) + (2 и ^ 3 × 2 к) + (3 к × 5 к ^ 2) + (3 к × 2 к) \\ & = 10 и ^ 3к ^ 2 + 4 и ^ 3к + 15 к ^ 3 + 6 к ^ 2 \ крај {поравнато}
Ови проблеми се могу закомпликовати за веће групе, али основни процес је и даље исти.
Дељење полиномских израза
Дељење полиномских израза траје дуже, али можете се позабавити корацима. Погледајте израз:
\ фрац {к ^ 2 - 3 к - 10} {к + 2}
Прво напишите израз као дуга подела, са делитељем лево и дивидендом десно:
к + 2) \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10}
Поделите први члан у дивиденди са првим чланом у делиоцу, а резултат ставите на линију изнад дељења. У овом случају,Икс2 ÷ Икс = Икс, тако:
\ почетак {поравнато} & к \\ к + 2) & \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10} \ крај {поравнато}
Помножите овај резултат са целим делиоцем, па у овом случају, (Икс + 2) × Икс = Икс2 + 2 Икс. Ставите овај резултат испод поделе:
\ почетак {поравнато} & к \\ к + 2) & \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10} \\ & к ^ 2 + 2 к \ крај {поравнато}
Одузмите резултат у новом реду од појмова непосредно изнад њега (имајте на уму да технички мењате знак, па бисте уместо тога додали ако сте имали негативан резултат) и ставите ово на ред испод њега. Померите и крајњи рок са првобитне дивиденде на доле.
\ почетак {поравнато} & к \\ к + 2) & \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10} \\ & к ^ 2 + 2 к \\ & 0 - 5 к - 10 \ крај {поравнато}
Сада поновите поступак са делиоцем и новим полиномом у доњој линији. Дакле, поделите први члан делиоца (Икс) до првог члана дивиденде (−5Икс) и ставите ово горе:
\ почетак {поравнато} & к -5 \\ к + 2) & \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10} \\ & к ^ 2 + 2 к \\ & 0 - 5 к - 10 \ енд {алигн}
Помножите овај резултат (−5Икс ÷ Икс= −5) оригиналним делитељем (дакле (Икс + 2) × −5 = −5 Икс−10) и резултат ставите у нову доњу линију:
\ почетак {поравнато} & к -5 \\ к + 2) & \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10} \\ & к ^ 2 + 2 к \\ & 0 - 5 к - 10 \\ & -5 к - 10 \ крај {поравнато}
Затим одузмите доњи ред од следећег нагоре (па у овом случају промените знак и додајте), а резултат ставите на нови доњи ред:
\ почетак {поравнато} & к -5 \\ к + 2) & \ оверлине {к ^ 2 - 3 к - 10} \\ & к ^ 2 + 2 к \\ & 0 - 5 к - 10 \\ & -5 к - 10 \\ & 0 \ куад 0 \ енд {поравнато}
Пошто је на дну сада низ нула, процес је завршен. Да су преостали термини који нису нула, поновите поступак поново. Резултат је на врху, па:
\ фрац {к ^ 2 - 3 к - 10} {к + 2} = к - 5
Ова подела и неке друге могу се једноставније решити ако можете фактор полинома у дивиденди.