Шта су стварни бројеви?

Стварни бројеви су сви бројеви на бројевној линији која се протеже од негативне бесконачности до нуле до позитивне бесконачности. Ова конструкција скупа реалних бројева није произвољна, већ је резултат еволуције од природних бројева који се користе за бројање. Систем природних бројева има неколико недоследности, а како су прорачуни постајали све сложенији, бројевни систем се ширио да би решио своја ограничења. Код стварних бројева, прорачуни дају конзистентне резултате, и има неколико изузетака или ограничења која су била присутна код примитивнијих верзија бројевног система.

ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)

Скуп реалних бројева састоји се од свих бројева на бројевној линији. То укључује природне бројеве, цијеле бројеве, цијеле бројеве, рационалне бројеве и ирационалне бројеве. Не укључује замишљене бројеве или сложене бројеве.

Затварање је својство скупа бројева што значи да ако се дозвољени прорачуни изводе на бројевима који су чланови скупа, одговори ће бити и бројеви који су чланови скупа. Каже се да је сет затворен.

Природни бројеви су бројеви за бројање, 1, 2, 3..., а скуп природних бројева није затворен. Како су се природни бројеви користили у трговини, одмах су се појавила два проблема. Док су природни бројеви бројали стварне предмете, на пример краве, ако је фармер имао пет крава и продао пет крава, није било природног броја резултата. Системи раних бројева врло брзо су развили термин за нулу како би решили овај проблем. Резултат је био систем целих бројева, што је природни број плус нула.

Други проблем је такође повезан са одузимањем. Све док су бројеви бројали стварне предмете попут крава, фармер није могао продати више крава него што је имао. Али када су бројеви постали апстрактни, одузимањем већих бројева од мањих добили смо одговоре изван система целих бројева. Као резултат, уведени су цели бројеви, који су цели бројеви плус негативни природни бројеви. Бројевни систем је сада обухватио комплетну бројевну линију, али само са целим бројевима.

Израчунавања у затвореном бројевном систему треба да дају одговоре из бројевног система за операције као што су сабирање и множење, али и за њихове обрнуте операције, одузимање и подела. Систем целих бројева је затворен за сабирање, одузимање и множење, али не и за дељење. Ако је цео број подељен са другим целим бројем, резултат није увек цео број.

Дељењем малог целог броја са већим добија се разломак. Такви разломци су бројевном систему додавани као рационални бројеви. Рационални бројеви су дефинисани као било који бројеви који се могу изразити као однос две целине. Било који произвољан децимални број може се изразити као рационални број. На пример, 2.864 је 2864/1000, а 0.89632 је 89632 / 100.000. Чинило се да је бројевна линија сада потпуна.

На бројевној линији постоје бројеви који се не могу изразити разломком целих бројева. Један је однос страница правоуглог троугла и хипотенузе. Ако су две странице правоуглог троугла 1 и 1, хипотенуза је квадратни корен из 2. Квадратни корен из два је бесконачна децимала која се не понавља. Такви бројеви називају се ирационалним и укључују све реалне бројеве који нису рационални. Овом дефиницијом бројевна линија свих реалних бројева је потпуна јер је сваки други реалан број који није рационалан укључен у дефиницију ирационалног.

Иако се каже да се права бројевна линија протеже од негативне до позитивне бесконачности, сама бесконачност није а стваран број, већ концепт бројевног система који га дефинише као количину већу од било ког број. Математички бесконачност је одговор на 1 / к како к достиже нулу, али подела са нулом није дефинисана. Да је бесконачност број, то би довело до контрадикција јер бесконачност не следи законе аритметике. На пример, бесконачност плус 1 је и даље бесконачност.

Скуп реалних бројева је затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење, осим за дељење са нулом, што није дефинисано. Сет није затворен за најмање још једну операцију.

Правила множења у скупу реалних бројева одређују да се множењем негативног и а позитиван број даје негативан број док множење позитивних или негативних бројева даје позитиван одговори. То значи да посебан случај множења броја сам по себи даје позитиван број и за позитивне и за негативне бројеве. Инверзна вредност овог посебног случаја је квадратни корен позитивног броја, који даје и позитиван и негативан одговор. За квадратни корен негативног броја нема одговора у скупу реалних бројева.

Концепт скупа имагинарних бројева бави се питањем негативних квадратних корена у реалним бројевима. Квадратни корен од минус 1 је дефинисан као и, а сви замишљени бројеви су вишекратници од и. Да бисмо употпунили теорију бројева, скуп комплексних бројева дефинише се тако да укључује све стварне и све имагинарне бројеве. Стварни бројеви могу се и даље визуализовати на хоризонталној бројевној линији, док су имагинарни бројеви вертикална бројевна линија, при чему се два секу на нули. Комплексни бројеви су тачке у равни две бројевне праве, свака са стварном и замишљеном компонентом.