Како решити кубне једначине

Решавање полиномских функција је кључна вештина за свакога ко студира математику или физику, али упознавање са процесом - посебно када је реч о функцијама вишег реда - може бити прилично изазовно. Кубна функција је један од најизазовнијих типова полиномске једначине који ћете можда морати да решите ручно. Иако то можда није тако једноставно као решавање квадратне једначине, постоји неколико метода можете користити за проналажење решења кубне једначине без прибегавања страницама и страницама детаљно алгебра.

Кубична функција је полином трећег степена. Општа полиномска функција има облик:

Ево, Икс је променљива, н је једноставно било који број (и степен полинома), к је константа, а остала слова су константни коефицијенти за сваку снагу од Икс. Дакле, кубна функција има н = 3, и једноставно је:

Где у овом случају, д је константа. Уопштено говорећи, када морате да решите кубну једначину, она ће вам бити представљена у облику:

Свако решење за Икс назива се „корен“ једначине. Кубичне једначине имају један стварни корен или три, мада се могу поновити, али увек постоји бар једно решење.

Тип једначине је дефинисан највећом снагом, тако да у примеру изнад, то не би била кубна једначина ако а = 0, јер би најјачи израз снаге био бк² и то би била квадратна једначина. То значи да су следеће све кубне једначине:

Најлакши начин за решавање кубне једначине укључује мало нагађања и алгоритамски тип процеса који се назива синтетичка подела. Почетак је, међутим, у основи исти као метода покушаја и грешака за решења кубних једначина. Покушајте да погодите шта је један од корена. Ако имате једначину где је први коефицијент, а, једнако је 1, онда је мало лакше погодити један од корена, јер су они увек фактори константног члана који је горе представљен са д.

Дакле, гледајући следећу једначину, на пример:

Морате да погодите једну од вредности за Икс, али како а = 1 у овом случају знате да која год вредност била, мора бити фактор 24. Први такав фактор је 1, али ово би оставило:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Што није нула, а −1 би оставило:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Што опет није нула. Следећи, Икс = 2 би дало:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Још један неуспех. Покушавам Икс = −2 даје:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Ово значи Икс = −2 је корен кубне једначине. Ово показује предности и недостатке методе покушаја и грешака: Одговор можете добити без много мисао, али је дуготрајна (посебно ако морате да пређете на више факторе пре него што нађете корен). Срећом, када пронађете један корен, остатак једначине можете лако решити.

Кључ је укључивање факторске теореме. Ово наводи да ако Икс = с је решење, тада (Икс – с) је фактор који се може извући из једначине. За ову ситуацију, с = −2, и тако (Икс + 2) је фактор који можемо повући да напустимо:

Појмови у другој групи заграда имају облик квадратне једначине, па ако пронађете одговарајуће вредности за а и б, једначина се може решити.

То се може постићи синтетичким дељењем. Прво запишите коефицијенте првобитне једначине у горњи ред табеле, линијом раздвајања, а затим познатим кореном десно:

Оставите један резервни ред, а затим додајте водоравну линију испод њега. Прво однесите први број (1 у овом случају) до реда испод ваше водоравне линије

Сада помножите број који сте управо оборили познатим кореном. У овом случају, 1 × -2 = -2, а то је записано испод следећег броја на листи, како следи:

Затим додајте бројеве у другој колони и ставите резултат испод водоравне линије:

Сада поновите поступак који сте управо прошли са новим бројем испод водоравне линије: Помножите са роот, ставите одговор на празно место у следећој колони, а затим додајте колону да бисте добили нови број на Доњи ред. Ово оставља:

А онда последњи пут прођите кроз процес.

Чињеница да је последњи одговор нула говори вам да сте добили важећи корен, па ако ово није нула, онда сте негде погрешили.

Сада вам доњи ред говори о факторима три члана у другом скупу заграда, тако да можете написати:

И тако:

Ово је најважнија фаза решења и од ове тачке можете завршити на више начина.

Када уклоните неки фактор, решење можете пронаћи користећи факторизацију. Из горњег корака, ово је у основи исти проблем као и факторирање квадратне једначине, што у неким случајевима може бити изазовно. Међутим, за израз:

Ако се сетите да два броја која стављате у заграде треба да додате да бисте добили други коефицијент (7) и помножите да бисте добили трећи (12), у овом случају је прилично лако видети:

Можете да помножите ово да бисте проверили, ако желите. Не осећајте се малодушно ако не можете одмах видети факторизацију; потребно је мало вежбе. Ово оставља оригиналну једначину као:

За шта одмах можете видети да има решења Икс = −2, 3 и 4 (сви су фактори 24, првобитна константа). У теорији, такође је могуће видети цело факторизовање почев од оригиналне верзије једначине, али ово је много изазовније, па је боље пронаћи једно решење из покушаја и грешака и користити горњи приступ пре него што покушате да уочите а факторизација.

Ако се мучите да видите факторизацију, можете да користите формулу квадратне једначине:

Да бисте пронашли преостала решења.

Иако је много већи и мање је једноставан за решавање, постоји једноставан решивач кубних једначина у облику кубне формуле. Ово је попут формуле квадратне једначине у којој само уносите своје вредности а, б, ц и д да бисте добили решење, али је само много дуже.

У њему се наводи да:

где

и

Коришћење ове формуле је дуготрајно, али ако не желите да користите методу покушаја и грешака за решења кубних једначина, а затим и квадратну формулу, ово функционише када прођете кроз све то.