Овладавање концептима синуса и косинуса саставни је део тригонометрије. Али када ове идеје држите под паском, оне постају градивни блок за друге корисне алате у тригонометрији, а касније и у рачунању. На пример, „закон косинуса“ је посебна формула помоћу које можете пронаћи страницу троугла која недостаје ако знате дужина друге две странице плус угао између њих или да бисте пронашли углове троугла када знате све три стране.
Закон косинуса
Закон косинуса постоји у неколико верзија, у зависности од углова или страница троугла са којима имате посла:
а ^ 2 = б ^ 2 + ц ^ 2 - 2бц × \ цос (А) \\ б ^ 2 = а ^ 2 + ц ^ 2 - 2ац × \ цос (Б) \\ ц ^ 2 = а ^ 2 + б ^ 2 - 2аб × \ цос (Ц)
У сваком случају,а, бицсу странице троугла иА., Б., илиЦ.је угао наспрам странице истог слова. ТакоА.је угао супротне страницеа, Б.је угао супротне страницеб, иЦ.је угао супротне страницец. Ово је облик једначине који користите ако налазите дужину странице једног троугла.
Закон косинуса такође се може преписати у верзијама које олакшавају проналазак било ког од три угла троугла, под претпоставком да знате дужине све три странице троугла:
цос (А) = \ фрац {б ^ 2 + ц ^ 2 - а ^ 2} {2бц} \\ \, \\ цос (Б) = \ фрац {ц ^ 2 + а ^ 2 - б ^ 2} { 2ац} \\ \, \\ цос (Ц) = \ фрац {а ^ 2 + б ^ 2 - ц ^ 2} {2аб}
Решавање за страну
Да бисте користили закон косинуса за решавање странице троугла, потребне су вам три информације: дужине друге две странице троугла, плус угао између њих. Изаберите верзију формуле где је страна коју желите да пронађете лево од једначине, а информације које већ имате су десно. Па ако желите да пронађете дужину страницеа, користили бисте верзију
а ^ 2 = б ^ 2 + ц ^ 2 - 2бц × \ цос (А)
Вредности две познате странице и угао између њих замените формулом. Ако ваш троугао има познате страницебицкоје мере 5 јединица односно 6 јединица, а угао између њих мери 60 степени (што се такође може изразити у радијанима као π / 3), имали бисте:
а ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ цос (60)
Користите табелу или свој калкулатор да бисте потражили вредност косинуса; у овом случају, цос (60) = 0,5, дајући вам једначину:
а ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Поједноставите резултат 2. корака. Ово вам даје:
а ^ 2 = 25 + 36 - 30
Што заузврат поједностављује на:
а ^ 2 = 31
Узмите квадратни корен обе стране да бисте завршили решавањеа. Ово вам оставља:
а = \ скрт {31}
Иако бисте могли да користите графикон или калкулатор за процену вредности 31 ЈПИ (то је 5.568), често ће вам бити дозвољено - и чак охрабрено - да одговор оставите у прецизнијем радикалном облику.
Решавање за угао
Можете применити исти поступак за проналажење било ког угла троугла ако знате све три његове странице. Овај пут ћете одабрати верзију формуле која ставља недостајући или "не знам" угао на леву страну знака једнакости. Замислите да желите да пронађете меру угла Ц (који је, запамтите, дефинисан као угао супротне страницец). Користили бисте ову верзију формуле:
\ цос (Ц) = \ фрац {а ^ 2 + б ^ 2 - ц ^ 2} {2аб}
Замените познате вредности - у овом типу задатака то значи дужине све три странице троугла - у једначину. Као пример, нека су странице вашег троуглаа= 3 јединице,б= 4 јединице иц= 25 јединица. Дакле, ваша једначина постаје:
\ цос (Ц) = \ фрац {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Једном када поједноставите резултујућу једначину, имаћете:
\ цос (Ц) = \ фрац {0} {24}
или једноставно цос (Ц.) = 0.
Израчунајте инверзни косинус или лучни косинус од 0, често забележени као цос-1(0). Или, другим речима, који угао има косинус 0? Заправо постоје два угла која враћају ову вредност: 90 степени и 270 степени. Али по дефиницији знате да сваки угао у троуглу мора бити мањи од 180 степени, тако да то оставља само 90 степени као опцију.
Дакле, мера вашег угла који недостаје је 90 степени, што значи да се случајно бавите правоуглим троуглом, мада овај метод функционише и са не-правоуглим троугловима.