У математици, реципрочна вредност броја је број који, помножен са оригиналним бројем, даје 1. На пример, реципрочна вредност за променљиву к је 1 /Икс, јер
к × \ фрац {1} {к} = \ фрац {к} {к} = 1
У овом примеру, 1 /Иксје узајамни идентитетИкс, и обрнуто. У тригонометрији, било који од углова не-90 степени у правоуглом троуглу може се дефинисати односима званим синус, косинус и тангента. Примењујући концепт узајамних идентитета, математичари дефинишу још три односа. Њихова имена су косекант, секанс и котангенс. Косекант је реципрочни идентитет синуса, секундарни идентитет косинуса и котангенс идентитета тангенте.
Како одредити узајамне идентитете
Размотримо угаоθ, што је један од два угла не-90 степени у правоуглом троуглу. Ако је дужина странице троугла наспрам угла "б, "дужина странице уз угао и насупрот хипотенузама је"а"а дужина хипотенузе је"р, "можемо да дефинишемо три примарна тригонометријска односа у смислу ових дужина.
\ тект {синус} θ = \ син θ = \ фрац {б} {р} \\ \, \\ \ тект {косинус} θ = \ цос θ = \ фрац {а} {р} \\ \, \\ \ тект {тангента} θ = \ тан θ = \ фрац {б} {а} \\
Узајамни идентитет грехаθмора бити једнако 1 / син θ, јер је то број који се помножи са синθ, производи 1. Исто важи и за цосθи препланулиθ. Математичари дају тим реципрочним именима имена косекант, секанс и котангенс. По дефиницији:
\ тект {цосецант} θ = \ цсц θ = \ фрац {1} {\ син θ} \\ \, \\ \ тект {сецант} θ = \ сец θ = \ фрац {1} {\ цос θ} \\ \, \\ \ тект {котангенс} θ = \ креветић θ = \ фрац {1} {\ тан θ}
Те реципрочне идентитете можете дефинисати у смислу дужина страница правоуглог троугла на следећи начин:
\ цсц θ = \ фрац {р} {б} \\ \, \\ \ сец θ = \ фрац {р} {а} \\ \, \\ \ цот θ = \ фрац {а} {б}
Следећи односи су тачни за било који угаоθ:
\ син θ × \ цсц θ = 1 \\ \ цос θ × \ сец θ = 1 \\ \ тан θ × \ кревет θ = 1
Два друга тригонометријска идентитета
Ако знате синус и косинус угла, можете извести тангенту. Ово је тачно јер
\ син θ = \ фрац {б} {р} \ тект {и} \ цос θ = \ фрац {а} {р} \ тект {, па} \ фрац {\ син θ} {\ цос θ} = \ фрац {б} {р} × \ фрац {р} {а} = \ фрац {б} {а}
Будући да је ово дефиниција тан θ, следи следећи идентитет, познат као количник идентитета:
\ фрац {\ син θ} {\ цос θ} = \ тан θ \\ \, \\ \ фрац {\ цос θ} {\ син θ} = \ креветић θ
Питагорин идентитет следи из чињенице да за било који правоугли троугао са страницамааиби хипотенузар, тачно је следеће:а2 + б2 = р2. Преуређујући појмове и дефинишући односе у синусу и косинусу, долази се до следећег израза:
\ син ^ 2 θ + \ цос ^ 2 θ = 1
Две друге важне везе следе када уметнете узајамне идентитете за синус и косинус у горњи израз:
\ тан ^ 2 θ + 1 = \ сец ^ 2 θ \\ \ цот ^ 2 θ + 1 = \ цсц ^ 2 θ
