Једначине кинематике описују кретање објекта који се подвргава сталном убрзању. Ове једначине повезују променљиве времена, положаја, брзине и убрзања покретног објекта, омогућавајући решавање било које од ових променљивих ако су остале познате.
Испод је приказ објекта у којем се константно убрзава кретање у једној димензији. Променљива т је за време, позиција је Икс, брзина в и убрзање а. Претплата и и ф значе „почетно“, односно „коначно“. Претпоставља се да т = 0 ат Икси и ви.
(Уметни слику 1)
Листа кинематичких једначина
У наставку су наведене три примарне кинематичке једначине које се примењују када се ради у једној димензији. Ове једначине су:
\ # \ тект {1:} в_ф = в_и + ат \\ \ # \ тект {2:} к_ф = к_и + в_и т + \ фрац 1 2 ат ^ 2 \\ \ # \ тект {3:} (в_ф) ^ 2 = (в_и) ^ 2 + 2а (к_ф - к_и)
Напомене о кинематичким једначинама
- Ове једначине раде само са константним убрзањем (које у случају константне брзине може бити нула).
- Зависно од извора који сте прочитали, коначне количине можда неће имати индекс ф, и / или могу бити представљени у ознакама функција као к (т) - читати "Икс у функцији времена “или„Икс на време т" - и в (т). Напоменути да к (т) не значи Икс множи т!
-
Понекад количина Иксф - Икси је написан
Δк, што значи „промена у Икс, “Или чак једноставно као д, што значи расељавање. Сви су еквивалентни. Положај, брзина и убрзање су векторске величине, што значи да имају правац повезан са њима. У једној димензији смер се обично означава знаковима - позитивне величине су у позитивном, а негативне у негативном смеру. Претплате: „0“ се може користити за почетни положај и брзину уместо и. Ово „0“ значи „на т = 0, "и Икс0 и в0 се обично изговарају „к-нугхт“ и „в-нич“. * Само једна од једначина не укључује време. Приликом исписивања датости и одређивања које једначине користити, ово је кључно!
Посебан случај: Слободни пад
Кретање у слободном паду је кретање објекта који се убрзава само гравитацијом у одсуству отпора ваздуха. Примењују се исте кинематичке једначине; међутим, позната је вредност убрзања у близини Земљине површине. Величина овог убрзања често је представљена са г, где је г = 9,8 м / с2. Правац овог убрзања је надоле, према површини Земље. (Имајте на уму да се неки извори могу приближити г као 10 м / с2, а други могу да користе вредност која је тачна на више од две децимале.)
Стратегија решавања проблема за кинематичке проблеме у једној димензији:
Скицирајте дијаграм ситуације и одаберите одговарајући координатни систем. (Сећам се да Икс, в и а су све векторске величине, па ће додељивањем јасног позитивног смера бити лакше пратити знакове.)
Напишите списак познатих количина. (Имајте на уму да сазнања понекад нису очигледна. Потражите фразе попут „почиње од одмора“, што значи ви = 0, или „удара о земљу“, што значи да Иксф = 0 и тако даље.)
Утврдите коју количину питање жели да пронађете. Шта је непознато за шта ћете се решавати?
Изаберите одговарајућу кинематичку једначину. Ово ће бити једначина која садржи вашу непознату количину заједно са познатим количинама.
Решите једначину за непознату величину, а затим прикључите познате вредности и израчунајте коначни одговор. (Пазите на јединице! Понекад ће вам требати конверзија јединица пре рачунања.)
Примери једнодимензионалне кинематике
Пример 1: Реклама тврди да спортски аутомобил може да пређе од 0 до 60 мпх за 2,7 секунди. Какво је убрзање овог аутомобила у м / с2? Колико путује током ових 2,7 секунди?
Решење:
(Убаци слику 2)
Познате и непознате количине:
в_и = 0 \ тект {мпх} \\ в_ф = 60 \ тект {мпх} \\ т = 2.7 \ тект {с} \\ к_и = 0 \\ а = \ тект {?} \\ к_ф = \ тект {? }
Први део питања захтева решавање непознатог убрзања. Овде можемо користити једначину бр. 1:
в_ф = в_и + ат \ имплицира а = \ фрац {(в_ф-в_и)} т
Пре него што прикључимо бројеве, међутим, морамо да претворимо 60 мпх у м / с:
60 \ поништи {\ тект {мпх}} \ Бигг (\ фрац {0,477 \ тект {м / с}} {\ поништи {\ тект {мпх}}} \ Бигг) = 26,8 \ тект {м / с}
Дакле, убрзање је тада:
а = \ фрац {(26.8-0)} {2.7} = \ подвучено {\ болд {9.93} \ тект {м / с} ^ 2}
Да бисмо пронашли докле сеже у том времену, можемо користити једначину 2:
к_ф = к_и + в_ит + \ фрац 1 2 у ^ 2 = \ фрац 1 2 \ пута 9,93 \ пута 2,7 ^ 2 = \ подвлачење {\ болд {36.2} \ текст {м}}
Пример 2: Лопта се баца брзином од 15 м / с са висине од 1,5 м. Колико брзо иде кад падне о тло? Колико треба ударца о земљу?
Решење:
(Уметни слику 3)
Познате и непознате количине:
к_и = 1,5 \ тект {м} \\ к_ф = 0 \ тект {м} \\ в_и = 15 \ тект {м / с} \\ а = -9,8 \ тект {м / с} ^ 2 \\ в_ф =? \\ т =?
Да бисмо решили први део, можемо користити једначину бр. 3:
(в_ф) ^ 2 = (в_и) ^ 2 + 2а (к_ф-к_и) \ подразумева в_ф = \ пм \ скрт {(в_и) ^ 2 + 2а (к_ф-к_и)}
Све је већ у доследним јединицама, тако да можемо да прикључимо вредности:
в_ф = \ пм \ скрт {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ пм \ скрт {254.4} \ приближно \ пм16 \ текст {м / с}
Овде постоје два решења. Којих је један тачан? Из нашег дијаграма видимо да би коначна брзина требала бити негативна. Дакле, одговор је:
в_ф = \ подвлачење {\ болд {-16} \ текст {м / с}}
Да бисмо решили време, можемо користити једначину # 1 или једначину # 2. Будући да је једначина # 1 једноставнија за рад, користићемо је:
в_ф = в_и + ат \ подразумева т = \ фрац {(в_ф-в_и)} {а} = \ фрац {(-16-15)} {- 9.8} \ приближно \ подвлачење {\ болд {3.2} \ тект {с }}
Имајте на уму да одговор на први део овог питања није био 0 м / с. Иако је тачно да ће након слетања лопте имати 0 брзине, ово питање жели да зна колико брзо иде у том делићу секунде пре удара. Једном када лопта дође у додир са земљом, наше кинематичке једначине више не важе, јер убрзање неће бити константно.
Кинематичке једначине за кретање пројектила (две димензије)
Пројектил је објекат који се креће у две димензије под утицајем гравитације Земље. Његов пут је парабола, јер је једино убрзање услед гравитације. Кинематичке једначине за кретање пројектила имају мало другачији облик од горе наведених кинематичких једначина. Користимо чињеницу да су компоненте кретања које су међусобно окомите - попут хоризонталне Икс правац и вертикала г. правац - су независни.
Стратегија решавања проблема за проблеме кинематике кретања пројектила:
Скицирајте дијаграм ситуације. Као и код једнодимензионалног кретања, корисно је скицирати сценарио и назначити координатни систем. Уместо да користите етикете Икс, в и а за положај, брзину и убрзање потребан нам је начин обележавања кретања у свакој димензији посебно.
За хоризонтални правац најчешће је употреба Икс за положај и вИкс за к-компоненту брзине (имајте на уму да је убрзање 0 у овом смеру, па нам за то није потребна променљива.) У г. правца, најчешће се користи г. за положај и вг. за и-компоненту брзине. Убрзање може бити означено аг. или се можемо послужити чињеницом да знамо да је убрзање услед гравитације г у негативном правцу и, и само користите то уместо тога.
Напишите листу познатих и непознатих величина тако што ћете задатак поделити на два дела: вертикално и хоризонтално кретање. Помоћу тригонометрије пронађите к- и и-компоненте било којих векторских величина које не леже дуж осе. Било би корисно ово навести у две колоне:
(убацити табелу 1)
Напомена: Ако се брзина даје као величина заједно са углом, Ѳ, изнад хоризонтале, затим користите векторско разлагање, вИкс= вцос (Ѳ) и вг.= всин (Ѳ).
Можемо узети у обзир наше три кинематичке једначине од раније и прилагодити их правцима к и и.
Кс правац:
к_ф = к_и + в_кт
И смер:
в_ {иф} = в_ {ии} -гт \\ и_ф = и_и + в_ {ии} т- \ фрац 1 2 гт ^ 2 \\ (в_ {иф}) ^ 2 = (в_ {ии}) ^ 2- 2г (и_ф - и_и)
Имајте на уму да убрзање у г. правац је -г ако претпоставимо да је горе позитиван. Уобичајена заблуда је да је г = -9,8 м / с2, али ово је нетачно; г сама по себи је величина убрзања: г = 9,8 м / с2, па морамо да прецизирамо да је убрзање негативно.
Решите једну непознату у једној од тих димензија, а затим укључите оно што је заједничко у оба смера. Иако је кретање у две димензије независно, то се дешава на истој временској скали, па је временска променљива иста у обе димензије. (Време које је потребно да би лопта била подвргнуто вертикалном кретању исто је као и време потребно за њено хоризонтално кретање.)
Примери кинематике кретања пројектила
Пример 1: Пројектил се лансира водоравно са литице висине 20 м са почетном брзином од 50 м / с. Колико треба ударца о земљу? Колико далеко од подножја литице слеће?
(убаци слику 4)
Познате и непознате количине:
(убацити табелу 2)
Време потребно за удар на земљу можемо пронаћи помоћу друге једначине вертикалног кретања:
и_ф = и_и + в_ {ии} т- \ фрац 1 2 гт ^ 2 \ подразумева т = \ скрт {\ фрац {(2 \ пута 20)} г} = \ подвлачење {\ болд {2.02} \ тект {с} }
Затим да нађем где слеће, Иксф, можемо користити једначину хоризонталног кретања:
к_ф = к_и + в_кт = 50 \ тимес2.02 = \ подвлачење {\ болд {101} \ тект {с}}
Пример 2: Лопта се лансира на 100 м / с од нивоа тла под углом од 30 степени у односу на хоризонталу. Где се спушта? Када је његова брзина најмања? Која је његова локација у овом тренутку?
(убаци слику 5)
Познате и непознате количине:
Прво треба да раставимо вектор брзине на компоненте:
в_к = в_и \ цос (\ тхета) = 100 \ цос (30) \ приближно 86,6 \ тект {м / с} \\ в_ {ии} = в_и \ син (\ тхета) = 100 \ син (30) = 50 \ текст {м / с}
Наша табела количина је тада:
(убацити табелу 3)
Прво морамо да пронађемо време када је лопта у лету. То можемо учинити другом вертикалном једначином_. Имајте на уму да користимо симетрију параболе да бисмо утврдили да коначни _и брзина је негативна од почетне:
Затим одређујемо докле се креће у Икс правац у овом времену:
к_ф = к_и + в_кт = 86,6 \ пута 10,2 \ приближно \ подвучено {\ болд {883} \ тект м}
Користећи симетрију параболичне путање, можемо утврдити да је брзина најмања при 5.1 с, када је пројектил на врхунцу свог кретања, а вертикална компонента брзине је 0. Компоненте к и и његовог кретања у овом тренутку су:
к_ф = к_и + в_кт = 86,6 \ пута 5,1 \ приближно \ подвуци {\ болд {442} \ тект м} \\ и_ф = и_и + в_ {ии} т- \ фрац 1 2 гт ^ 2 = 50 \ тимес5,1- \ фрац 1 2 9,8 \ пута 5,1 ^ 2 \ приближно \ подвучено {\ болд {128} \ тект {м}}
Извођење кинематичких једначина
Једначина # 1: Ако је убрзање константно, онда:
а = \ фрац {(в_ф-в_и)} {т}
Решавајући брзину, имамо:
в_ф = в_и + ат
Једначина # 2: Просечна брзина се може записати на два начина:
в_ {авг} = \ фрац {(к_ф-к_и)} {т} = \ фрац {(в_ф + в_и)} {2}
Ако заменимо _вф _изразом из једначине # 1 добијамо:
\ фрац {(к_ф-к_и)} {т} = \ фрац {((в_и + ат) + в_и)} {2}
Решавање за Иксф даје:
к_ф = к_и + в_и т + \ фрац 1 2 на ^ 2
Једначина # 3: Започните решавањем за т у једначини # 1
в_ф = в_и + ат \ подразумева т = \ фрац {(в_ф-в_и)} {а}
Прикључите овај израз за т у односу просечне брзине:
в_ {авг} = \ фрац {(к_ф-к_и)} {т} = \ фрац {(в_ф + в_и)} {2} \ подразумева \ фрац {(к_ф-к_и)} {(\ фрац {(в_ф-в_и )} {а})} = \ фрац {(в_ф + в_и)} {2}
Преуређивање овог израза даје:
(в_ф) ^ 2 = (в_и) ^ 2 + 2а (к_ф - к_и)
