Како пронаћи ди / дк имплицитном диференцијацијом с обзиром на сличну једначину као и = син (ки)

Имплицитна диференцијација је техника која се користи за одређивање извода функције у облику и = ф (к).

Да бисмо научили како се користи имплицитна диференцијација, можемо користити методу на једноставном примеру, а затим истражити неке сложеније случајеве.

Иако звучи сложеније, имплицитна диференцијација користи сву исту математику и вештине као основна диференцијација. Важно је напоменути да се наша зависна променљива сада појављује у самој функцији.

Узмите једноставну једначину као што је ки = 1. Постоје два начина за проналажење деривата г. с обзиром на Икс, или ди / дк. Прво, једноставно можемо решити за г. у једначини и користити правило снаге за изводе. Ако се ово уради, добиће се: и = 1 / к. Примена правила снаге би стога открила да је ди / дк = -1 / к².

Овај проблем такође можемо учинити помоћу имплицитне диференцијације. Срећом, одговор већ знамо (требао би бити исти без обзира на то како га израчунавамо), па можемо проверити свој рад!

За почетак применити извод на обе стране једначине ки = 1. Тада је д / дк (ки) = д / дк (1); јасно је да је десна страна сада једнака 0, али лева страна захтева правило ланца. То је зато што узимамо извод наше функције, г., док се множи на други фактор Икс. Да би се ово израчунало: д / дк (к) и + к (д / дк (и)) = и + ки '. Примарни запис користићемо за означавање изведенице у односу на Икс.

Преписивањем наше једначине добијамо: и + ки '= 0. Време је за решавање и ' у нашој једначини! Јасно је да је и '= -и / к. Али користећи оригиналне информације, знамо да је и = 1 / к, па то можемо поново заменити. Једном када то урадимо, видимо да је и '= -1 / к², баш као што смо и раније пронашли.

Да бисмо одредили дериват и = син (ки), користићемо имплицитну диференцијацију памтећи да је (д / дк) и = и '.

Прво примените изведеницу на обе стране једначине: д / дк (и) = д / дк (син (ки)). Лева страна једначине је јасно и ', за шта ћемо морати да се решимо, али десна страна ће захтевати мало посла; конкретно, правило ланца и правило производа. Прво треба применити правило ланца на син (ки), а затим правило производа за аргумент ки. Срећом већ смо израчунали ово правило производа.

Даље, поједностављењем овога добија се: и '= цос (ки) (и + ки').

Јасно је да ову једначину треба решити и ' како би се утврдило како и ' повезано са Икс и г..

Све појмове изолујте са и ' на једној страни: и '- ки'цос (ки) = ицос (ки).

Затим раздвојите и ' да се добије: и '(1 - кцос (ки)) = ицос (ки).

Сада видимо да је и '= ицос (ки) / (1-кцос (ки)).

Даље поједностављење ће бити неопходно, али пошто је наша функција рекурзивно дефинисана, укључивање и = син (ки) вероватно неће дати задовољавајуће решење. У овом случају може бити корисно више информација или софистициранији метод за цртање ових једначина.

Прво, имајте на уму да се имплицитна диференцијација ослања на то да је једна од променљивих функција друге. Уобичајено, функције видимо као и = ф (к), али се може написати функција к = ф (и). Будите пажљиви када приступате овим проблемима да бисте утврдили која променљива зависи од друге.

Даље, не заборавите да пажљиво примените изведена правила. Имплицитна диференцијација врло често захтева правило ланца, као и правило производа и правило количника. Правилна примена ових метода биће од суштинског значаја за одређивање коначног одговора.

На крају, решите жељени дериват тако што ћете га изоловати и што је више могуће поједноставити изразе.