Kako rešiti enačbo kvadratnega korena

Kvadratni koren števila je vrednost, ki je pomnožena sama s seboj, daje prvotno število. Na primer, kvadratni koren 0 je 0, kvadratni koren 100 je 10 in kvadratni koren 50 je 7.071. Včasih lahko ugotovite ali preprosto prikličete kvadratni koren števila, ki je samo po sebi "popoln kvadrat", kar je zmnožek celoštevilnega pomnoženega samega sebe; Ko napredujete skozi študij, boste verjetno razvili mentalni seznam teh števil (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Težave s kvadratnimi koreninami so nepogrešljive v tehniki, računanju in skoraj na vseh področjih sodobnega sveta. Čeprav lahko v spletu enostavno poiščete kalkulatorje kvadratnih enačb (glejte primer za vire), je reševanje enačb kvadratnih korenov pomembno znanje algebre, ker vam omogoča, da se seznanite z uporabo radikalov in delate s številnimi vrstami problemov zunaj področja kvadratnih korenin same po sebi.

Dejstvo, da množenje dveh negativnih števil skupaj da pozitivno število, je v svetu kvadratnih korenin pomembno, ker to pomeni da imajo pozitivna števila dejansko dve kvadratni korenini (na primer kvadratne korenine 16 so 4 in −4, četudi je le prva intuitivna). Podobno negativna števila nimajo resničnih kvadratnih korenin, ker ni realnega števila, ki bi dobilo negativno vrednost, če bi ga pomnožili sami. V tej predstavitvi bo negativni kvadratni koren pozitivnega števila prezrt, zato lahko "kvadratni koren 361" vzamemo kot "19" in ne "−19 in 19."

Ko poskušate oceniti vrednost kvadratnega korena, kadar noben kalkulator ni priročen, je pomembno vedeti, da funkcije, ki vključujejo kvadratke in kvadratne korenine, niso linearne. Več o tem boste videli kasneje v razdelku o grafih, toda kot grob primer ste že opazili, da je kvadratni koren 100 enak 10, kvadratni koren 0 pa 0. Na pogled boste morda ugibali, da mora biti kvadratni koren za 50 (kar je na polovici med 0 in 100) 5 (kar je na polovici med 0 in 10). A tudi že ste izvedeli, da je kvadratni koren 50 7.071.

Končno ste morda ponotranili idejo, da množenje dveh števil skupaj da število večji od njega samega, kar pomeni, da so kvadratne korenine števil vedno manjše od izvirnika številko. To ni tako! Števila med 0 in 1 imajo tudi kvadratne korenine in v vsakem primeru je kvadratni koren večji od prvotnega števila. To je najlažje prikazati z ulomki. Na primer, 16/25 ali 0,64 ima popoln kvadrat tako v števcu kot v imenovalcu. To pomeni, da je kvadratni koren ulomka kvadratni koren njegovih zgornjih in spodnjih komponent, kar je 4/5. To je enako 0,80, večje število kot 0,64.

"Kvadratni koren izx"je običajno zapisano s tako imenovanim radikalnim znakom ali samo z radikalom (√). Tako za katero kolix​:

predstavlja njegov kvadratni koren. Če to obrnemo, kvadrat številaxje zapisano z uporabo eksponenta 2 (x​²). Eksponenti uporabljajo nadpise za obdelavo besedil in sorodne aplikacije in jih imenujejo tudi pooblastila. Ker radikalnih znakov ni vedno enostavno izdelati na zahtevo, je še en način zapisati "kvadratni koren izx"je uporabiti eksponent:

To pa je del splošne sheme:

pomeni "dvignitixna močy, nato vzemitez'koren tega. "x​^1/2 tako pomeni "dvignitixdo prve moči, kar je preprostoxin nato vzemite 2 koren ali kvadratni koren. "Če razširimo to,x​^(5/3) pomeni "dvignitixdo stopnje 5, nato poiščite tretji koren (ali kockasti koren) rezultata. "

Radikali se lahko uporabljajo za predstavitev korenin, ki niso kvadratni koren. To se naredi tako, da zgoraj levo radikala preprosto dodate nadpis.

potem predstavlja enako število kotx​^(5/3) iz prejšnjega odstavka.

Večina kvadratnih korenin je iracionalnih števil. To pomeni, da ne samo, da niso lepa, lična cela števila (npr. 1, 2, 3, 4.. .), vendar jih tudi ni mogoče izraziti kot lično decimalno število, ki se konča, ne da bi ga bilo treba zaokrožiti. Racionalno število lahko izrazimo kot ulomek. Torej, čeprav 2,75 ni celo število, je racionalno število, ker je enako kot ulomek 11/4. Prej so vam rekli, da je kvadratni koren 50 7.071, vendar je to dejansko zaokroženo z neskončnega števila decimalnih mest. Natančna vrednost √50 je 5√2 in kmalu boste videli, kako se to določi.

Že ste videli, da so enačbe pri vključevanju kvadratov in kvadratnih korenin nelinearne. Enega enostavnega načina, da si tega zapomnimo, je, da grafi rešitev teh enačb niso črte. To je smiselno, ker če je, kot smo že omenili, kvadrat 0 enak 0, kvadrat 10 pa 100, vendar kvadrat od 5 ni 50, graf, ki izhaja iz preprostega kvadratka števila, mora zaviti svojo pot do pravilne vrednote.

To je primer z grafom

kot se lahko prepričate tudi sami, tako da obiščete kalkulator v Virih in spremenite parametre. Črta poteka skozi točko (0,0) in y ne gre pod 0, kar bi morali pričakovati, ker to vestex​² ni nikoli negativno. Prav tako lahko vidite, da je graf simetričen okoli znakay-os, kar je smiselno tudi zato, ker vsak pozitiven kvadratni koren danega števila spremlja negativni kvadratni koren enake velikosti. Zato je z izjemo 0 vsakyvrednost na grafuy​ = ​x​² je povezan z dvemax-vrednote.

Eden od načinov ročnega reševanja osnovnih težav s kvadratnimi koreni je iskanje popolnih kvadratov, "skritih" znotraj problema. Najprej je pomembno, da se zavedamo nekaj vitalnih lastnosti kvadratov in kvadratnih korenin. Ena izmed teh je prav tako kot √x​² je preprosto enakox(ker se radikal in eksponent medsebojno izničita):

To pomeni, da če imate popoln kvadrat pod radikalom, ki pomnoži drugo število, ga lahko "izvlečete" in uporabite kot koeficient preostalega. Na primer vrnitev na kvadratni koren 50

Včasih lahko zaključite s številom, ki vključuje kvadratne korenine, ki je izraženo kot ulomek, vendar je še vedno nerazumno število, ker imenovalec, števec ali oboje vsebuje radikal. V takih primerih boste morda morali racionalizirati imenovalec. Na primer številka

ima radikal tako v števcu kot v imenovalcu. Toda po pregledu "45" ga boste morda prepoznali kot zmnožek 9 in 5, kar pomeni

Zato lahko ulomek zapišemo

Radikali se medsebojno izničijo, vi pa imate 6/3 = 2.