Algebra označuje prvi pravi konceptualni preskok, ki ga morajo učenci narediti v svetu matematike, se naučiti manipulirati s spremenljivkami in delati z enačbami. Ko začnete delati z enačbami, boste naleteli na nekaj pogostih izzivov, vključno z eksponenti, ulomki in več spremenljivkami. Vse to je mogoče obvladati s pomočjo nekaj osnovnih strategij.
Osnovna strategija za algebrske enačbe
Osnovna strategija za reševanje katere koli algebrske enačbe je najprej izolirati spremenljivko na eni strani enačbe in nato po potrebi uporabite inverzne operacije za odvzem koeficientov oz eksponentov. Inverzna operacija "razveljavi" drugo operacijo; na primer, delitev "razveljavi" množenje koeficienta, kvadratne korenine pa "razveljavijo" operacijo kvadriranja eksponenta druge stopnje.
Upoštevajte, da če uporabite operacijo na eni strani enačbe, morate isto operacijo uporabiti na drugi strani enačbe. Z ohranjanjem tega pravila lahko spremenite način zapisovanja enačb, ne da bi spremenili njihov medsebojni odnos.
Reševanje enačb z eksponentami
Vrste enačb z eksponenti, s katerimi se boste srečali med potovanjem po algebri, lahko zlahka zapolnijo celotno knjigo. Zaenkrat se osredotočite na obvladovanje najosnovnejših eksponentnih enačb, kjer imate en spremenljiv izraz z eksponentom. Na primer:
y ^ 2 + 3 = 19
Od obeh strani enačbe odštejemo 3, spremenljivka ostane na eni strani izolirana:
y ^ 2 = 16
Odstranite eksponent od spremenljivke tako, da uporabite radikal istega indeksa. Ne pozabite, da morate to storiti na obeh straneh enačbe. V tem primeru to pomeni, da vzamemo kvadratni koren obeh strani:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Kar poenostavi na:
y = 4
Reševanje enačb z ulomki
Kaj pa, če vaša enačba vključuje ulomek? Poglejmo primer
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Če razdelite ulomek 3/4 (x+ 7), stvari lahko hitro postanejo neurejene. Tu je veliko preprostejša strategija.
Pomnožite obe strani enačbe z imenovalcem ulomka. V tem primeru to pomeni pomnožitev obeh strani ulomka s 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Poenostavite obe strani enačbe. To deluje tako:
3 (x + 7) = 24
Lahko spet poenostavite, kar ima za posledico:
3x + 21 = 24
Od obeh strani odštejemo 21 in na eni strani enačbe izoliramo spremenljivko:
3x = 3
Na koncu delite obe strani enačbe s 3, da končate reševanjex:
x = 1
Reševanje ene enačbe z dvema spremenljivkama
Če imateenoenačbo z dvema spremenljivkama, boste verjetno pozvani, da rešite samo eno od teh spremenljivk. V tem primeru sledite skoraj istemu postopku, kot bi ga uporabili za katero koli algebrsko enačbo z eno spremenljivko. Poglejmo primer
5x + 4 = 2y
če vas prosijo za rešitevx.
Od obeh strani enačbe odštejemo 3, pri čemer ostanexizraz sam na eni strani enakovrednega znaka:
5x = 2y - 4
Razdelite obe strani enačbe s 5, da iz koeficienta odstranite koeficientxizraz:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Če ne prejmete nobenih drugih informacij, je to še toliko, kolikor lahko opravite izračune.
Reševanje dveh enačb z dvema spremenljivkama
Če imate sistem (ali skupino)dvaenačbe, ki imajo enaki dve spremenljivki, to običajno pomeni, da so enačbe povezane - in lahko uporabite tehniko, imenovano substitucija, da poiščete vrednosti obeh spremenljivk. Razmislite o enačbi iz zadnjega primera in drugi povezani enačbi, ki uporablja enake spremenljivke:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Izberite eno enačbo in jo rešite za eno od spremenljivk. V tem primeru uporabite tisto, kar že veste o prvi enačbi iz prejšnjega primera, za katero ste že rešilix:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Rezultat iz 1. koraka nadomestite z drugo enačbo. Z drugimi besedami, nadomestite vrednost (2y- 4) / 5 za vse primerexv drugi enačbi. To vam daje enačbo s samo eno spremenljivko:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Poenostavite enačbo iz 2. koraka in rešite preostalo spremenljivko, kar je v tem primeruy
Začnite tako, da pomnožite obe strani s 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
To poenostavi na:
2y - 4 + 15y = 115
Po združitvi podobnih izrazov to še poenostavi na:
17y = 119
In končno, po delitvi obeh strani s 17, imate:
y = 7
Vrednost iz 3. koraka nadomestite v enačbo iz 1. koraka. To vam omogoča:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Kar poenostavlja razkritje vrednostix:
x = 2
Rešitev za ta sistem enačb je torejx= 2 iny = 7.