Enačbo ravnine v tridimenzionalnem prostoru lahko v algebrskem zapisu zapišemo kot ax + z + cz = d, kjer je vsaj ena od konstante realnega števila "a," "b" in "c" ne smejo biti enake, "x", "y" in "z" pa predstavljajo osi tridimenzionalne letalo. Če so podane tri točke, lahko določite ravnino z uporabo vektorskih navzkrižnih produktov. Vektor je črta v prostoru. Navzkrižni produkt je množenje dveh vektorjev.
Dobite tri točke na letalu. Označite jih z "A", "B" in "C." Denimo, da so te točke A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); in C = (1, 3, 4).
Na ravnini poiščite dva različna vektorja. V primeru izberite vektorja AB in AC. Vektor AB gre od točke-A do točke-B, vektor AC pa od točke-A do točke-C. Torej odštejte vsako koordinato v točki-A od vsake koordinate v točki-B, da dobite vektor AB: (-2, 3, 1). Podobno je vektor AC točka-C minus točka-A ali (-2, 2, 3).
Izračunajte navzkrižni zmnožek obeh vektorjev, da dobite nov vektor, ki je normalen (ali pravokoten ali pravokoten) na vsakega od obeh vektorjev in tudi na ravnino. Navzkrižni zmnožek dveh vektorjev (a1, a2, a3) in (b1, b2, b3) je podan z N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). V primeru je navzkrižni zmnožek N in AB in AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], kar poenostavi na N = 7i + 4j + 2k. Upoštevajte, da se "i", "j" in "k" uporabljajo za predstavitev vektorskih koordinat.
Izvedite enačbo ravnine. Enačba ravnine je Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, kjer je (a1, a2, a3) katera koli točka v ravnini in (Ni, Nj, Nk ) je normalni vektor, N. V primeru z uporabo točke C, ki je (1, 3, 4), je enačba ravnine 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, kar poenostavi na 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 ali 7x + 4y + 2z = 27.
Preverite svoj odgovor. Nadomestite prvotne točke, da vidite, ali ustrezajo enačbi ravnine. Če zaključimo primer, če zamenjamo katero koli od treh točk, bomo videli, da je enačba ravnine resnično izpolnjena.
Nasveti
Glejte Vire za nasvete, kako uporabiti sisteme treh hkratnih enačb za iskanje enačbe ravnine.