Kako najti eksponentno enačbo z dvema točkama

Če poznate dve točki, ki padeta na določeno eksponentno krivuljo, lahko krivuljo določite tako, da z uporabo teh točk rešite splošno eksponentno funkcijo. V praksi to pomeni zamenjavo točk za y in x v enačbi y = ab^x. Postopek je lažji, če je vrednost x za eno od točk 0, kar pomeni, da je točka na osi y. Če nobena točka nima nič x-vrednosti, je postopek reševanja x in y nekoliko bolj zapleten.

Številni pomembni sistemi sledijo eksponentnim vzorcem rasti in propadanja. Na primer, število bakterij v koloniji se običajno eksponentno poveča, sevanje okolja v ozračju po jedrskem dogodku pa se navadno eksponentno zmanjša. Z jemanjem podatkov in načrtovanjem krivulje so znanstveniki v boljšem položaju za napovedovanje.

Katero koli točko na dvodimenzionalnem grafu lahko predstavimo z dvema številkama, ki sta običajno zapisani v oblika (x, y), kjer x definira vodoravno razdaljo od začetka, y pa navpičnico razdalja. Na primer, točka (2, 3) je dve enoti desno od osi y in tri enote nad osjo x. Po drugi strani pa je točka (-2, -3) dve enoti levo od osi y. in tri enote pod osjo x.

Če imate dve točki, (x₁, y₁) in (x₂, y₂), lahko določite eksponentno funkcijo, ki gre skozi te točke, tako da jih nadomestite v enačbi y = ab^x in reševanje za a in b. Na splošno morate rešiti ta par enačb:

y₁ = ab^x1 in y₂ = ab^x2, .

V tej obliki je matematika videti nekoliko zapleteno, vendar je videti manj, potem ko ste naredili nekaj primerov.

Če je ena od vrednosti x - recimo x₁ - je 0, postopek postane zelo preprost. Na primer, pri reševanju enačbe za točke (0, 2) in (2, 4) dobimo:

2 = ab⁰ in 4 = ab². Ker vemo, da b⁰ = 1, prva enačba postane 2 = a. Če v drugi enačbi nadomestimo a, dobimo 4 = 2b², ki ga poenostavimo na b² = 2 ali b = kvadratni koren iz 2, kar je približno 1,41. Takrat je definirajoča funkcija y = 2 (1,41)^x.

Če nobena vrednost x ni nič, je reševanje para enačb nekoliko bolj okorno. Henochmath nas popelje skozi enostaven primer za razjasnitev tega postopka. V svojem primeru je izbral par točk (2, 3) in (4, 27). Tako dobimo naslednji par enačb:

27 = ab⁴

3 = ab²

Če delite prvo enačbo z drugo, dobite

9 = b²

torej b = 3. Možno je, da je b enak tudi -3, vendar v tem primeru predpostavimo, da je pozitiven.

To vrednost lahko v kateri koli enačbi nadomestite z b, da dobite a. Lažje je uporabiti drugo enačbo, zato:

3 = a (3)² ki ga lahko poenostavimo na 3 = a9, a = 3/9 ali 1/3.

Enačbo, ki gre skozi te točke, lahko zapišemo kot y = 1/3 (3)^x.

Od leta 1910 je bila rast človeške populacije eksponentna in z načrtovanjem krivulje rasti so znanstveniki v boljšem položaju za napovedovanje in načrtovanje prihodnosti. Leta 1910 je bilo svetovnega prebivalstva 1,75 milijarde, leta 2010 pa 6,87 milijarde. Če vzamemo 1910 kot izhodišče, dobimo par točk (0, 1,75) in (100, 6,87). Ker je vrednost x prve točke enaka nič, lahko zlahka najdemo a.

1,75 = ab⁰ ali a = 1,75. Če to vrednost skupaj z vrednostmi druge točke vključimo v splošno eksponentno enačbo, dobimo 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, ki daje vrednost b kot stoti koren 6,87 / 1,75 ali 3,93. Enačba torej postane y = 1,75 (stoti koren od 3,93)^x. Čeprav za to potrebujemo več kot le drsno pravilo, lahko znanstveniki s to enačbo projicirajo prihodnje število prebivalstva, da bodo politikom v sedanjosti pomagali oblikovati ustrezne politike.