Reševanje neenakosti absolutne vrednosti je podobno reševanju enačb absolutne vrednosti, vendar je treba upoštevati nekaj dodatnih podrobnosti. Pomaga že udobno reševanje enačb absolutne vrednosti, vendar je v redu, če se jih učite tudi skupaj!
Opredelitev absolutne neenakosti vrednosti
Najprej anabsolutna vrednostna neenakostje neenakost, ki vključuje izraz absolutne vrednosti. Na primer
| 5 + x | - 10> 6
je neenakost absolutne vrednosti, ker ima znak neenakosti,> in izraz absolutne vrednosti, | 5 +x |.
Kako rešiti absolutno vrednostno neenakost
Thekoraki k reševanju absolutne vrednostne neenakostiso podobni korakom za reševanje enačbe absolutne vrednosti:
Korak 1:Izolirajte izraz absolutne vrednosti na eni strani neenakosti.
2. korak:Rešite pozitivno "različico" neenakosti.
3. korak:Rešite negativno "različico" neenakosti tako, da količino na drugi strani neenakosti pomnožite z -1 in obrnete predznak neenakosti.
To je veliko za vzeti naenkrat, zato je tukaj primer, ki vas bo vodil skozi korake.
Reši neenakost zax:
| 5 + 5x | - 3> 2
Če želite to narediti, dobite | 5 + 5x| sama po sebi na levi strani neenakosti. Vse, kar morate storiti, je, da na vsako stran dodate 3:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Zdaj obstajata dve "različici" neenakosti, ki ju moramo rešiti: pozitivna "različica" in negativna "različica".
V tem koraku bomo domnevali, da so stvari takšne, kot se zdijo: da je 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
To je preprosta neenakost; preprosto moraš rešitixkot vedno. Od obeh strani odštejemo 5, nato obe strani delimo s 5.
\ start {poravnano} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(odštejte pet z obeh strani)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(delite obe strani s pet)} \\ & x> 0 \ end {poravnano}
Ni slabo! Ena od možnih rešitev naše neenakosti je torej tax> 0. Ker gre zdaj za absolutne vrednosti, je čas, da razmislimo o drugi možnosti.
Če želite razumeti ta naslednji del, si pomagamo zapomniti, kaj pomeni absolutna vrednost.Absolutna vrednostmeri razdaljo števila od nič. Razdalja je vedno pozitivna, tako da je 9 devet enot oddaljena od nič, toda −9 je tudi devet enot oddaljena od nič.
Torej | 9 | = 9, vendar | −9 | = 9 tudi.
Zdaj pa k zgornji težavi. Zgornje delo je pokazalo, da | 5 + 5x| > 5; z drugimi besedami, absolutna vrednost "nečesa" je večja od pet. Zdaj bo vsako pozitivno število, večje od pet, bolj oddaljeno od nič kot pet. Torej, prva možnost je bila, da je "nekaj", 5 + 5x, je večje od 5.
To je:
5 + 5x> 5
To je scenarij, ki smo ga obravnavali zgoraj, v 2. koraku.
Zdaj pa premislite malo dlje. Kaj je še pet enot oddaljeno od nič? No, negativnih pet je. In vse, kar je naprej po številski črti od negativnih pet, bo še bolj oddaljeno od nič. Torej je naše "nekaj" lahko negativno število, ki je bolj oddaljeno od nič kot negativno petico. To pomeni, da bi bila številka bolj zveneča, a tehničnomanj kotnegativnih pet, ker se premika v negativni smeri na številski črti.
Tako bi lahko bilo naše "nekaj", 5 + 5x, manjše od −5.
5 + 5x
Hitro lahko to algebraično naredimo tako, da količino na drugi strani neenakosti, 5, pomnožimo z negativno in nato obrnemo znak neenakosti:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Nato rešite kot običajno.
\ začeti {poravnano} & 5 + 5x
Torej sta možni dve rešitvi neenakostix> 0 alix< −2. Preverite, ali vključite nekaj možnih rešitev, da zagotovite, da neenakost še vedno velja.
Absolutne neenakosti v vrednosti brez rešitve
Obstaja scenarij, kjer bi obstajalnobene rešitve za absolutno vrednostno neenakost. Ker so absolutne vrednosti vedno pozitivne, ne morejo biti enake ali manjše od negativnih števil.
Torej |x| brez rešitveker mora biti rezultat izraza absolutne vrednosti pozitiven.
Intervalni zapis
Če želite napisati rešitev za naš glavni primer vintervalni zapis, pomislite, kako je rešitev videti na številski črti. Naša rešitev je bilax> 0 alix< −2. Na številski črti je to odprta pika na 0, s črto, ki se razteza do pozitivne neskončnosti, in odprta pika na -2, s črto, ki se razteza do negativne neskončnosti. Te rešitve so usmerjene druga proti drugi, ne druga proti drugi, zato vzemite vsak kos posebej.
Za x> 0 na številski črti je odprta pika na ničli in nato črta, ki se razteza do neskončnosti. V zapisu intervalov je odprta pika ponazorjena z oklepaji (), zaprta pika ali neenakosti z ≥ ali ≤ pa bi uporabili oklepaje, []. Torej zax> 0, napišite (0, ∞).
Druga polovica,x
"Ali" v zapisu intervala je znak zveze, ∪.
Rešitev v zapisu intervalov je torej
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)