V matematiki se včasih pojavi potreba po dokazovanju, ali so funkcije v linearnem smislu medsebojno odvisne ali neodvisne. Če imate dve funkciji, ki sta linearno odvisni, grafični prikaz enačb teh funkcij povzroči točke, ki se prekrivajo. Funkcije z neodvisnimi enačbami se pri prekrivanju ne prekrivajo. Eden od načinov za določitev, ali so funkcije odvisne ali neodvisne, je izračun Wronskegaja za funkcije.
Kaj je Wronskian?
Wronskian dveh ali več funkcij je tisto, kar je znano kot determinanta, ki je posebna funkcija, ki se uporablja za primerjavo matematičnih predmetov in dokazovanje nekaterih dejstev o njih. V primeru Wronskega se z determinanto dokaže odvisnost ali neodvisnost med dvema ali več linearnimi funkcijami.
Vronska matrica
Da bi izračunali Wronskian za linearne funkcije, je treba funkcije razrešiti za isto vrednost znotraj matrike, ki vsebuje funkcije in njihove izpeljave. Primer tega je
W (f, g) (t) = \ začetek {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ konec {vmatrix}
ki Wronskemu zagotavlja dve funkciji (
fing), ki so rešeni za eno vrednost, ki je večja od nič (t); lahko vidite dve funkcijif(t) ing(t) v zgornji vrstici matrike in izpeljankef'(t) ing'(t) v spodnji vrstici. Upoštevajte, da se Wronskian lahko uporablja tudi za večje komplete. Če na primer tri funkcije preizkusite z Wronskimanom, boste morda v matriko vstavili funkcije in izpeljankef(t), g(t) inh(t).Reševanje Wronskega
Ko imate funkcije razporejene v matriki, navzkrižno pomnožite vsako funkcijo z izpeljanko druge funkcije in odštejte prvo vrednost od druge. Za zgornji primer vam to daje
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Če je končni odgovor enak nič, to kaže, da sta funkciji odvisni. Če je odgovor kaj drugega kot nič, so funkcije neodvisne.
Primer Wronskian
Predstavljajte si, da boste bolje razumeli, kako to deluje
f (t) = x + 3 \ text {in} g (t) = x - 2
Uporaba vrednostit= 1, funkcije lahko rešite kot
f (1) = 4 \ besedilo {in} g (1) = -1
Ker gre za osnovne linearne funkcije z naklonom 1, so izpeljanke obehf(t) ing(t) enako 1. Navzkrižno množenje vaših vrednosti daje
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
ki zagotavlja končni rezultat 5. Čeprav imata linearni funkciji enak naklon, sta neodvisni, ker se njuni točki ne prekrivata. Čef(t) je ustvaril rezultat -1 namesto 4, Wronskian bi namesto tega dal rezultat nič, da bi označil odvisnost.