Učenje ravnanja z eksponenti je sestavni del vsakega matematičnega izobraževanja, a na srečo se pravila za njihovo množenje in deljenje ujemajo s pravili za nerazlomljene eksponente. Prvi korak k razumevanju, kako ravnati z delnimi eksponenti, je povzeti, kaj točno so, in nato lahko pogledate, kako lahko kombinirate eksponente, ko se pomnožijo ali delijo in imajo enake osnova. Na kratko, pri množenju seštejejo eksponente in pri deljenju odštejejo enega od drugega, če imajo enako osnovo.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Množite izraze z eksponentami po splošnem pravilu:
xa + xb = x(a + b)
In razdelite izraze z eksponenti po pravilu:
xa ÷ xb = x(a – b)
Ta pravila delujejo s katerim koli izrazom namestoainb, celo ulomki.
Kaj so delni eksponenti?
Drobni eksponenti zagotavljajo kompakten in uporaben način izražanja kvadratnih, kockastih in višjih korenin. Imenovalec na eksponentu pove, kateri koren "osnovnega" števila predstavlja izraz. V izraz kotxa, ti kličixosnova inaeksponent. Delni eksponent vam torej pove:
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Imenovalec dveh na eksponentu pove, da vzamete kvadratni koren izxv tem izrazu. Enako osnovno pravilo velja za višje korenine:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
In
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Ta vzorec se nadaljuje. Za konkreten primer:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
In
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Pravila frakcijske eksponente: Množenje delnih eksponent z isto osnovo
Množimo izraze z delnimi eksponentami (če imajo enako osnovo) tako, da seštejemo eksponente. Na primer:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Odx1/3 pomeni "kockin korenx, "Popolnoma logično je, da to dvakrat pomnoženo samo po sebi daje rezultatx. Lahko naletite tudi na primere, kot sox1/3 × x1/3, vendar s tem ravnate popolnoma enako:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Dejstvo, da je izraz na koncu še vedno delni eksponent, ne vpliva na postopek. To lahko poenostavite, če to opazitex2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Pri takem izrazu ni pomembno, ali najprej vzamete koren ali moč. Ta primer ponazarja, kako to izračunati:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Ker je kockastega korena iz 8 enostavno obdelati, se tega lotite na naslednji način:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Torej to pomeni:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
V imenovalcih ulomkov lahko naletite tudi na izdelke z delnimi eksponenti z različnimi števili, ki jih lahko dodate na enak način, kot bi dodali druge ulomke. Na primer:
\ začetek {poravnano} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ konec {poravnano}
To so vsi specifični izrazi splošnega pravila za množenje dveh izrazov z eksponentami:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Pravila frakcijske eksponente: delitev delnih eksponent z isto osnovo
Delitve dveh števil se lotite z delnimi eksponentami tako, da odštejete eksponent, ki ga delite (delitelj), od tistega, ki ga delite (dividenda). Na primer:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
To je smiselno, ker je vsako število, deljeno samo po sebi, enako enaki, kar se ujema s standardnim rezultatom, da je vsako število, zvišano na stopnjo 0, enako enaki. Naslednji primer uporablja številke kot osnove in različne eksponente:
\ začetek {poravnano} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ konec {poravnano}
Kar lahko vidite tudi, če opazite, da 161/2 = 4 in 161/4 = 2.
Tako kot pri množenju lahko tudi pri števcu dobite delne eksponente, ki imajo v številu drugačno število, vendar se z njimi ukvarjate na enak način.
Ti preprosto izražajo splošno pravilo za delitev eksponentov:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Množenje in deljenje delnih eksponent v različnih osnovah
Če se osnove pogojev razlikujejo, ni enostavnega načina množenja ali delitve eksponentov. V teh primerih preprosto izračunajte vrednost posameznih izrazov in nato izvedite zahtevano operacijo. Izjema je le, če je eksponent enak, v tem primeru jih lahko pomnožite ali delite na naslednji način:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4