Tri metode, ki se najpogosteje uporabljajo za reševanje sistemov enačb, so substitucijske, eliminacijske in razširjene matrike. Zamenjava in izločanje sta preprosti metodi, ki lahko učinkovito rešijo večino sistemov dveh enačb v nekaj neposrednih korakih. Metoda razširjenih matric zahteva več korakov, vendar se njena uporaba razširi na več različnih sistemov.
Zamenjava
Zamenjava je metoda reševanja sistemov enačb tako, da v eni od enačb odstranimo vse spremenljivke, razen ene, in nato rešimo to enačbo. To dosežemo z izolacijo druge spremenljivke v enačbi in nato z nadomestitvijo vrednosti za te spremenljivke v drugi enačbi. Na primer, da rešite sistem enačb x + y = 4, 2x - 3y = 3, v prvem izolirajte spremenljivko x enačbo, da dobimo x = 4 - y, nato nadomestimo to vrednost y v drugo enačbo, da dobimo 2 (4 - y) - 3y = 3. Ta enačba poenostavlja na -5y = -5 ali y = 1. Priključite to vrednost v drugo enačbo in poiščite vrednost x: x + 1 = 4 ali x = 3.
Izločanje
Izločanje je še en način reševanja sistemov enačb s prepisovanjem ene od enačb v smislu samo ene spremenljivke. Metoda izločanja to doseže z dodajanjem ali odštevanjem enačb, da izbriše eno od spremenljivk. Če na primer seštejemo enačbi x + 2y = 3 in 2x - 2y = 3, dobimo novo enačbo, 3x = 6 (upoštevajte, da so izrazi y odpovedani). Nato se sistem reši po enakih metodah kot pri zamenjavi. Če ni mogoče izločiti spremenljivk v enačbah, bo treba celotno enačbo pomnožiti s faktorjem, da se bodo koeficienti ujemali.
Povečana matrica
Povečane matrike lahko uporabimo tudi za reševanje sistemov enačb. Povečana matrika je sestavljena iz vrstic za vsako enačbo, stolpcev za vsako spremenljivko in razširjenega stolpca, ki vsebuje konstantni izraz na drugi strani enačbe. Na primer, razširjena matrica za sistem enačb 2x + y = 4, 2x - y = 0 je [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Določitev rešitve
Naslednji korak vključuje uporabo osnovnih operacij vrstic, kot je množenje ali deljenje vrstice s konstanto, ki ni nič, in dodajanje ali odštevanje vrstic. Cilj teh operacij je pretvoriti matriko v obliko ešalona vrstic, v kateri je prvi vnos, ki ni nič v vsaki vrstici, vnosi 1 zgoraj in pod tem vnosom so vse ničle, prvi vnos, ki ni nič za vsako vrstico, pa je vedno desno od vseh takih vnosov v vrsticah nad njim. Vrstni ešalonski obrazec za zgornjo matrico je [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Vrednost prve spremenljivke poda prva vrstica (1x + 0y = 1 ali x = 1). Vrednost druge spremenljivke je podana v drugi vrstici (0x + 1y = 2 ali y = 2).
Aplikacije
Zamenjava in izločanje sta enostavnejši metodi reševanja enačb in se uporabljata veliko pogosteje kot razširjene matrike v osnovni algebri. Nadomestna metoda je še posebej uporabna, kadar je ena od spremenljivk že izolirana v eni od enačb. Metoda izločanja je koristna, kadar je koeficient ene od spremenljivk enak (ali njen negativni ekvivalent) v vseh enačbah. Primarna prednost razširjenih matric je v tem, da se lahko uporablja za reševanje sistemov treh ali več enačb v situacijah, ko sta zamenjava in izločitev neizvedljiva ali nemogoča.