Vsak študent algebre na višjih stopnjah se mora naučiti reševati kvadratne enačbe. To so vrste polinomskih enačb, ki vključujejo potencial 2, vendar nobene večje in imajo splošno obliko:sekira2 + bx + c= 0. Te lahko rešite z uporabo formule kvadratne enačbe, z razdelitvijo na kvadrat ali z izpolnjevanjem kvadrata.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Najprej poiščite faktorizacijo za rešitev enačbe. Če je ni, razenbkoeficient je deljiv z 2, izpolnite kvadrat. Če noben pristop ni enostaven, uporabite formulo kvadratne enačbe.
Uporaba faktorizacije za reševanje enačbe
Faktorizacija izkorišča dejstvo, da je desna stran standardne kvadratne enačbe enaka nič. To pomeni, da če lahko enačbo razdelite na dva izraza v oklepajih, pomnoženih med seboj, lahko rešitve razmislite tako, da razmislite, kaj bi pomenilo, da bi bil vsak oklepaj enak nič. Konkreten primer:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Primerjajte to s standardnim obrazcem:
ax ^ 2 + bx + c = 0
V primerua = 1, b= 6 inc= 9. Izziv faktoriziranja je najti dve številki, ki se seštevata, da dobita številko v
bspot in pomnožite skupaj, da dobite število na mestu zac.Torej, predstavljanje števil zdine, iščete številke, ki ustrezajo:
d + e = b
Ali v tem primeru sb = 6:
d + e = 6
In
d × e = c
Ali v tem primeru sc = 9:
d × e = 9
Osredotočite se na iskanje številk, ki so dejavnikic, nato pa jih dodajte skupaj, da vidite, ali so enakib. Ko imate svoje številke, jih vstavite v naslednjo obliko:
(x + d) (x + e)
V zgornjem primeru obadineso 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Če pomnožite oklepaje, boste znova dobili originalni izraz, zato je dobra praksa, da preverite svoje razčlenjevanje. Ta postopek lahko izvedete (tako da pomnožite prvi, notranji, zunanji in nato zadnji del oklepajev - za podrobnosti glejte Viri), da ga vidite v obratni smeri:
\ začetek {poravnano} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ konec {poravnano}
Faktorizacija dejansko teče skozi ta postopek v obratni smeri, vendar je lahko izziv razviti pravi način za faktor kvadratne enačbe in ta metoda ni idealna za vsako kvadratno enačbo razlog. Pogosto morate uganiti faktorizacijo in jo nato preveriti.
Težava je zdaj v tem, da se kateri koli izraz v oklepajih izbere za enako nič z izbiro vrednosti zax. Če je kateri koli nosilec enak nič, je celotna enačba enaka nič in našli ste rešitev. Poglejte zadnjo fazo [(x + 3) (x+ 3) = 0] in videli boste, da so oklepaji edini čas, ko pridejo v ničx= −3. V večini primerov pa imajo kvadratne enačbe dve rešitvi.
Faktorizacija je še bolj zahtevna, čeani enak enemu, toda osredotočanje na preproste primere je najprej boljše.
Dokončanje kvadrata za reševanje enačbe
Dokončanje kvadrata vam pomaga rešiti kvadratne enačbe, ki jih ni mogoče zlahka razstaviti na faktorje. Ta metoda lahko deluje za katero koli kvadratno enačbo, vendar nekatere enačbe bolj ustrezajo drugim. Pristop vključuje izdelavo izraza v popoln kvadrat in njegovo reševanje. Splošni popolni kvadrat se razširi takole:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Če želite kvadratno enačbo rešiti tako, da izpolnite kvadrat, dobite izraz v obrazec na desni strani zgoraj. Najprej delite številko vbpoložaj za 2, rezultat pa nato poravnajte na kvadrat. Torej za enačbo:
x ^ 2 + 8x = 0
Koeficientb= 8, torejb÷ 2 = 4 in (b ÷ 2)2 = 16.
Dodajte to na obe strani, da dobite:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Upoštevajte, da se ta obrazec ujema s popolno kvadratno obliko zd= 4, torej 2d= 8 ind2 = 16. To pomeni da:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Vstavite to v prejšnjo enačbo, da dobite:
(x + 4) ^ 2 = 16
Zdaj rešite enačbo zax. Vzemite kvadratni koren obeh strani, da dobite:
x + 4 = \ sqrt {16}
Od obeh strani odštejemo 4, da dobimo:
x = \ sqrt {16} - 4
Koren je lahko pozitiven ali negativen, negativni koren pa da:
x = -4 - 4 = -8
Poiščite drugo rešitev s pozitivnim korenom:
x = 4 - 4 = 0
Zato je edina ničelna rešitev −8. Za potrditev preverite to z originalnim izrazom.
Uporaba kvadratne formule za reševanje enačbe
Formula kvadratne enačbe je videti bolj zapletena kot druge metode, vendar je najbolj zanesljiva metoda in jo lahko uporabite v kateri koli kvadratni enačbi. Enačba uporablja simbole iz standardne kvadratne enačbe:
ax ^ 2 + bx + c = 0
In navaja, da:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Na njihova mesta vstavite ustrezna števila in poiščite formulo, ki jo želite rešiti, ne pozabite poskusiti odštevanja in dodajanja kvadratnega izraza in upoštevajte oba odgovora. Za naslednji primer:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Imaša = 1, b= 6 inc= 5. Torej formula daje:
\ začetek {poravnano} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {poravnano}
Ob pozitivnem predznaku dobimo:
\ začetek {poravnano} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ konec {poravnano}
In jemanje negativnega predznaka daje:
\ začeti {poravnano} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {poravnano}
Kateri sta dve rešitvi enačbe.
Kako določiti najboljšo metodo za reševanje kvadratnih enačb
Poiščite faktorizacijo, preden poskusite kar koli drugega. Če ga lahko opazite, je to najhitrejši in najlažji način za reševanje kvadratne enačbe. Ne pozabite, da iščete dve številki, ki se seštevata vbkoeficient in pomnožimo, da dobimockoeficient. Za to enačbo:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Lahko opazite, da je 2 + 3 = 5 in 2 × 3 = 6, torej:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Inx= -2 alix = −3.
Če ne vidite faktorja, preverite, ali jebkoeficient je deljiv z 2, ne da bi se zatekli k ulomkom. Če je, je izpolnitev kvadrata verjetno najlažji način za reševanje enačbe.
Če se noben od pristopov ne zdi primeren, uporabite formulo. Zdi se, da je to najtežji pristop, toda če ste na izpitu ali ste kako drugače potisnjeni za čas, lahko postopek postane veliko manj stresen in veliko hitrejši.