Binomska porazdelitev opisuje spremenljivko X če 1) obstaja fiksna številka n opazovanja spremenljivke; 2) vsa opažanja so neodvisna druga od druge; 3) verjetnost uspeha str je enako za vsako opazovanje; in 4) vsako opazovanje predstavlja enega od natančno dveh možnih izidov (od tod beseda "binom" - mislite "binarno"). Ta zadnja kvalifikacija razlikuje binomske porazdelitve od Poissonovih porazdelitev, ki se spreminjajo nenehno in ne diskretno.
Takšno razporeditev lahko napišemo B(n, str).
Izračun verjetnosti danega opazovanja
Povejte vrednost k leži nekje vzdolž grafa binomske porazdelitve, ki je simetričen glede na srednjo vrednost np. Za izračun verjetnosti, da bo opazovanje imelo to vrednost, je treba rešiti to enačbo:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
kje
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
Znak "!" pomeni faktorjsko funkcijo, npr. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Primer
Recimo, da košarkar izvede 24 prostih metov in ima ustaljeno stopnjo uspešnosti 75 odstotkov (str = 0.75). Kakšne možnosti je, da bo zadela točno 20 od svojih 24 strelov?
Najprej izračunaj (n: k) kot sledi:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Tako
P (20) = 10.626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Ta igralec ima torej 13,1-odstotno možnost, da izvrši natanko 20 od 24 prostih metov, v skladu s tem, kar bi lahko intuicija predlagajte igralko, ki bi navadno zadela 18 od 24 prostih metov (zaradi njene uveljavljene stopnje uspešnosti 75 odstotkov).