Zmnožek dveh skalarnih količin je skalar, zmnožek skalarja z vektorjem pa je vektor, kaj pa produkt dveh vektorjev? Je skalar ali drug vektor? Odgovor je, da bi lahko bil!
Obstajata dva načina, kako narediti vektorski izdelek. Eno je tako, da vzamemo njihov pikčast produkt, ki da skalar, in drugo, da vzamemo njihov navzkrižni produkt, ki daje drugega vektorja. Kateri izdelek se uporablja, je odvisno od določenega scenarija in količine, ki jo želite najti.
Navzkrižni zmnožek dveh vektorjev daje tretji vektor, ki kaže v smeri, pravokotni na ravnino, ki jo zajemata dva vektorja in katere velikost je odvisna od relativne pravokotnosti obeh vektorjev vektorji.
Opredelitev navzkrižnega proizvoda vektorjev
Najprej določimo navzkrižni zmnožek vektorjev enotejaz, jink(vektorji magnitude 1, ki so v točkix-, y-inz-komponentne smeri standardnega kartezijanskega koordinatnega sistema), kot sledi:
\ krepko {i \ krat j} = \ krepko {k} \\ \ krepko {j \ krat k} = \ krepko {i} \\ \ krepko {k \ krat i} = \ krepko {j} \\ \ krepko {i \ krat i} = \ krepko {j \ krat j} = \ krepko {k \ krat k} = 0
Upoštevajte, da so ta razmerja protikomutativna, to pomeni, da če spremenimo vrstni red vektorjev, iz katerih vzamemo zmnožek, se zaslon obrne predznak izdelka:
\ krepko {j \ krat i} = - \ krepko {k} \\ \ krepko {k \ krat j} = - \ krepko {i} \\ \ krepko {i \ krat k} = - \ krepko {j}
Z zgornjimi definicijami lahko uporabimo formulo za navzkrižni zmnožek dveh tridimenzionalnih vektorjev. Najprej napišite vektorjeainbkot sledi:
\ krepko {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ krepko {i} + a_y \ krepko {j} + a_z \ krepko {k} \\ \ krepko {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ krepko {i} + b_y \ krepko {j} + b_z \ krepko {k}
Če pomnožimo dva vektorja, dobimo:
\ krepko {a \ krat b} = (a_x \ krepko {i} + a_y \ krepko {j} + a_z \ krepko {k}) \ krat (b_x \ krepko {i} + b_y \ krepko {j} + b_z \ krepko {k}) \\ = a_xb_x \ krepko {i \ krat i} + a_xb_y \ krepko {i \ krat j} + a_xb_z \ krepko {i \ krat k} \\ + a_yb_x \ krepko {j \ krat i} + a_yb_y \ krepko {j \ krat j} + a_yb_z \ krepko {j \ krat k} \\ + a_zb_x \ krepko {k \ krat i} + a_zb_y \ krepko {k \ krat j} + a_zb_z \ krepko {k \ krat k}
Nato se z uporabo zgornjih odnosov enote zgoraj to poenostavi na:
\ krepko {a \ krat b} = a_xb_y \ krepko {i \ krat j} - a_xb_z \ krepko {k \ krat i} - a_yb_x \ krepko {i \ krat j} + a_yb_z \ krepko {j \ krat k} + a_zb_x \ krepko {k \ krat i} - a_zb_y \ krepko {j \ krat k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ krepko {i \ krat j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ krepko {k \ krat i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ krepko {j \ krat k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ krepko { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ krepko {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ krepko {k}
(Upoštevajte, da so izrazi, katerih navzkrižni zmnožek je 0, izrazi, ki tvorijo pikčasti zmnožek (imenovan tudi skalarni zmnožek)!To ni naključje.)
Z drugimi besedami:
\ krepko {a \ krat b} = \ krepko {c} = (c_x, c_y, c_z) \ besedilo {kjer} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Velikost navzkrižnega proizvoda lahko najdemo s pomočjo pitagorejskega izreka.
Formulo navzkrižnega proizvoda lahko izrazimo tudi kot determinanto naslednje matrike:
\ krepko {a \ krat b} = \ Bigg | \ začetek {matrica} \ krepko {i} & \ krepko {j} & \ krepko {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrica} \ Bigg | \\ = \ Velik | \ začetek {matrica} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrica} \ Velika | \ krepko {i} - \ Velika | \ začetek {matrica} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrica} \ Velika | \ krepko {j} + \ Velika | \ začetek {matrica} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ konec {matrica} \ velika | \ krepko {k}
\ text {Kjer je determinanta} \ Big | \ začne {matrica} a & b \\ c & d \ konec {matrica} \ Big | = ad - bc
Druga, pogosto zelo priročna formulacija navzkrižnega proizvoda je (glej konec tega članka za izpeljavo):
\ krepko {a × b} = | \ krepko {a} | | \ krepko {b} | \ sin (θ) \ krepko {n}
Kje:
- |a| je velikost (dolžina) vektorjaa
- |b| je velikost (dolžina) vektorjab
- θ je kot med ain b
- nje enotni vektor, pravokoten na ravnino, zajeto z ainb
Pravokotni vektorji in pravilo na desni
V opisu navzkrižnega proizvoda je navedeno, da je smer navzkrižnega izdelka pravokotna na ravnino, ki jo zajema vektorain vektorb. Toda to pušča dve možnosti: morda kažeizletalo ozvravnina, ki jo zajemajo ti vektorji. Resničnost je, da lahko dejansko izberemo bodisi, če smo dosledni. Favorizirano smer, ki so jo izbrali matematiki in znanstveniki, pa določa nekaj, kar se imenujepravilo desne roke.
Če želite določiti smer vektorskega navzkrižnega izdelka z uporabo desnega pravila, usmerite kazalec desne roke v smer vektorjaain srednji prst v smeri vektorjab. Nato palec kaže v smeri vektorja navzkrižnega izdelka.
Včasih je te smeri težko prikazati na ravnem papirju, zato so pogosto sprejete naslednje določbe:
Za označitev vektorja, ki gre na stran, narišemo krog, v katerem je X (zamislite si, da predstavlja repno perje na koncu puščice, ko ga gledate od zadaj). Za označitev vektorja, ki gre stran v nasprotno smer, narišemo krog s piko (pomislimo na to kot na konico puščice, ki kaže stran).
•••na
Lastnosti navzkrižnega izdelka
Sledi več lastnosti vektorskega navzkrižnega produkta:
\ # \ besedilo {1. Če sta \ \ krepko {a} \ besedilo {in} \ krepko {b} \ besedilo {vzporedni, potem} \ krepko {a \ krat b} = 0
\ # \ besedilo {2. } \ krepko {a \ krat b} = - \ krepko {b \ krat a}
\ # \ besedilo {3. } \ krepko {a \ krat (b + c)} = \ krepko {a \ krat b} + \ krepko {a \ krat c}
\ # \ besedilo {4. } (c \ krepko {a) \ krat b} = c (\ krepko {a \ krat b})
\ # \ besedilo {5. } \ krepko {a \ cdot (b \ krat c}) = \ krepko {(a \ krat b) \ cdot c}
\ text {Kje} \ krepko {a \ cdot (b \ krat c}) = \ Bigg | \ začetek {matrica} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrica } \ Bigg |
Geometrijska interpretacija navzkrižnega izdelka
Ko je vektorski križni zmnožek formuliran v smislu sin (θ), lahko njegovo velikost razlagamo tako, da predstavlja območje paralelograma, ki ga raztezata dva vektorja. To je zato, ker zaa × b, |b| sin (θ) = višina paralelograma, kot je prikazano, in |a| je osnova.
•••Dana Chen | Učenje
Velikost vektorskega trojnega izdelkaa (b × c) lahko nato razlagamo kot prostornino paralelepipeda, ki ga raztezajo vektorjia, binc. To je zato, ker(b × c) daje vektor, katerega velikost je območje, ki ga obsega vektorbin vektorc, katerega smer je pravokotna na to območje. Ob pikčastem zmnožku vektorjaas tem rezultatom osnovno površino v bistvu pomnoži z višino.
Primeri
Primer 1:Sila na delcu nabojaqpremikanje s hitrostjovv magnetnem poljuBpodaja:
\ krepko {F} = q \ krepko {v \ krat B}
Recimo, da elektron prehaja skozi magnetno polje 0,005 T s hitrostjo 2 × 107 gospa. Če gre pravokotno skozi polje, je sila, ki jo bo začutila:
\ krepko {F} = q \ krepko {v \ krat B} = qvB \ sin (\ theta) \ krepko {n} = (-1.602 \ krat 10 ^ {19}) (2 \ krat 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ krepko {n} = -1.602 \ krat 10 ^ {- 14} \ besedilo {N} \ krepko {n}
Če pa elektron potuje vzporedno s poljem, je θ = 0 in sin (0) = 0, tako da je sila 0.
Upoštevajte, da bo pri sili, ki gre pravokotno skozi polje, ta sila povzročila, da se bo gibal po krožni poti. Polmer te krožne poti lahko najdemo tako, da nastavimo magnetno silo, ki je enaka centripetalni sili, in določimo polmerr:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implicira r = \ frac {mv} {qB}
Za zgornji primer s priklopom številk dobimo polmer približno 0,0227 m.
2. primer:Fizični količinski navor se izračuna tudi z uporabo vektorskega navzkrižnega zmnožka. Če silaFse nanaša na predmet na položajurod vrtilne točke, navorτo vrtilni točki podaja:
\ krepko {\ tau} = \ krepko {r \ krat F}
Razmislite o situaciji, v kateri deluje sila 7 N pod kotom na konec palice 0,75, katere drugi konec je pritrjen na vrtišče. Kot medrinFje 70 stopinj, tako da lahko izračunamo navor:
\ krepko {\ tau} = \ krepko {r \ krat F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ krepko {n} = 4,93 \ besedilo {Nm} \ krepko { n}
Smer navora,n, je mogoče najti s pomočjo desnega pravila. Če je uporabljena za zgornjo sliko, bo to smer, ki prihaja iz strani ali zaslona. Navor, ki deluje na predmet, na splošno povzroči, da se predmet vrti. Vektor navora bo vedno ležal v isti smeri kot rotacijska os.
Pravzaprav je v tem primeru mogoče uporabiti poenostavljeno pravilo desne roke: Z desno roko "zgrabite" vrtilno os v tako, da se vaši prsti zvijejo v smeri, ki jo povzroči navor, zaradi katerega se bo predmet zasukal. Nato palec kaže v smeri vektorja navora.
Izpeljava formule navzkrižnih izdelkov
\ text {Tu bomo pokazali, kako je formula za navzkrižni izdelek} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ krepko {b} | \ sin (θ) \ krepko {n} \ besedilo {je mogoče izpeljati.}
Upoštevajmo dva vektorjaainbs kotomθmed njimi. Pravokotni trikotnik lahko oblikujemo tako, da s konice vektorja narišemo črtoana pravokotno kontaktno točko na vektorjub.
Z uporabo pitagorejskega izreka dobimo naslednje razmerje:
\ Veliko | \ Veliko (\ frac {\ krepko {a \ cdot b}} {| \ krepko {b} | ^ 2} \ Veliko) \ krepko {b} \ Veliko | ^ 2 + (| \ krepko {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ krepko {a} | ^ 2
\ text {Kjer} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {je projekcija vektorja} \ bold {a} \ besedilo {v vektor} \ krepko {b}.
Če nekoliko poenostavimo izraz, dobimo naslednje:
\ frac {| \ krepko {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ krepko {b} | ^ 2} + | \ krepko {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ krepko { a} | ^ 2
Nato pomnožite obe strani enačbe z |b|2 in premaknite prvi izraz na desno stran, da dobite:
| \ krepko {a} | ^ 2 | \ krepko {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ krepko {a} | ^ 2 | \ krepko {b} | ^ 2 - | \ krepko { a \ cdot b} | ^ 2
Če delate z desno stranjo, pomnožite vse in nato poenostavite:
| \ krepko {a} | ^ 2 | \ krepko {b} | ^ 2 - | \ krepko {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2. + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_z_x__________________b (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ krepko {a \ krat b} | ^ 2
Če rezultat nastavimo na levo stran prejšnje enačbe, dobimo naslednje razmerje:
| \ krepko {a \ krat b} | = | \ krepko {a} || \ krepko {b} || \ sin (\ theta) |
To nam kaže, da so velikosti enake v formuli, zato je zadnja stvar, ki jo moramo dokazati, da pokažemo, da so tudi smeri enake. To lahko storite preprosto tako, da vzamete pikčaste izdelke izasa × binbsa × bin kažejo, da so 0, kar pomeni, da je smera × b je pravokotna na obe.