Včasih je treba najti ničelni vektor, ki nam bo, pomnožen s kvadratno matrico, dal večkratnik vektorja. Ta ničelni vektor se imenuje "lastni vektor". Lastni vektorji niso zanimivi samo za matematike, ampak tudi za druge v poklicih, kot sta fizika in inženirstvo. Če jih želite izračunati, boste morali razumeti matrično algebro in determinante.
Spoznajte in razumejte definicijo "lastnega vektorja". Ugotovljeno je za n x n kvadratno matrico A in tudi a skalarna lastna vrednost, imenovana "lambda". Lambdo predstavlja grška črka, tukaj pa jo bomo okrajšali na L. Če obstaja ničelni vektor x, kjer je Ax = Lx, se ta vektor x imenuje "lastna vrednost A."
Poiščite lastne vrednosti matrike z uporabo značilne enačbe det (A - LI) = 0. "Det" pomeni determinanto, "I" pa identitetna matrika.
Izračunajte lastni vektor za vsako lastno vrednost tako, da poiščete lastni prostor E (L), ki je ničelni prostor značilne enačbe. Nujenski vektorji E (L) so lastni vektorji A. Te najdemo tako, da lastne vektorje priključimo nazaj v značilno matriko in najdemo osnovo za A - LI = 0.
Izračunajte lastne vrednosti z uporabo karakteristične enačbe. Det (A - LI) je (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, kar je značilni polinom. Če to rešimo algebraično, dobimo L1 = 4 in L2 = 2, ki sta lastni vrednosti naše matrike.
Poiščite lastni vektor za L = 4 z izračunom ničelnega prostora. To storite tako, da v karakteristično matrico položite L1 = 4 in poiščete osnovo za A - 4I = 0. Pri reševanju tega najdemo x - y = 0 ali x = y. Ta ima samo eno neodvisno rešitev, saj sta enaki, na primer x = y = 1. Zato je v1 = (1,1) lastni vektor, ki obsega lastni prostor L1 = 4.
Ponovite 6. korak, da poiščete lastni vektor za L2 = 2. Najdemo x + y = 0 ali x = --y. To ima tudi eno neodvisno rešitev, recimo x = --1 in y = 1. Zato je v2 = (--1,1) lastni vektor, ki obsega lastni prostor L2 = 2.