Trigonometrija je lahko povsem abstraktna. Skrivnostni izrazi, kot sta "greh" in "cos", v resnici preprosto ne ustrezajo ničemer, zato jih je težko razumeti kot koncepte. Enotni krog pri tem bistveno pomaga, saj ponuja neposredno razlago številk, ki jih dobite, ko vzamete sinus, kosinus ali tangento kota. Za vse študente naravoslovja ali matematike lahko razumevanje enotnega kroga resnično utrdi vaše razumevanje trigonometrije in uporabe funkcij.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Enoten krog ima polmer ena. Predstavljajte sixykoordinatni sistem, ki se začne v središču tega kroga. Točkovni koti se merijo od kjex= 1 iny= 0, na desni strani kroga. Koti se povečujejo, ko se premikate v nasprotni smeri urnega kazalca.
Z uporabo tega okvira inyzay-koordinirati inxzax-koordina točke na krožnici:
grehθ = y
cosθ = x
In posledično:
porjavelaθ = y / x
Kaj je enotni krog?
Krog "enote" ima polmer 1. Z drugimi besedami, razdalja od središča kroga do katerega koli dela roba je vedno 1. Merska enota v resnici ni pomembna, kajti pri krogu enote je najpomembneje, da veliko enačb in izračunov poenostavi.
Služi tudi kot koristna podlaga za pregled definicij kotov. Predstavljajte si, da središče kroga leži v središču koordinatnega sistema zx-os, ki teče vodoravno in ay-os, ki teče navpično. Krog prečkax-os prix = 1, y= 0. Znanstveniki in matematiki definirajo kot od te točke, ki se premika v nasprotni smeri urnega kazalca. Torej bistvox =1, y= 0 na krožnici je pod kotom 0 °.
Definicije greha in koz z enotnim krogom
Običajne definicije greha, cos in tan, ki jih dajejo študentom, se nanašajo na trikotnike. Navajajo:
\ sin θ = \ frac {\ text {nasproti}} {\ text {hipotenuza}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {sosednje}} {\ text {hipotenuza}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
"Nasprotno" se nanaša na dolžino stranice trikotnika, nasproti kotu, "sosednje" pa na dolžina stranice ob kotu in "hipotenuza" se nanaša na dolžino diagonalne stranice trikotnik.
Predstavljajte si, da ustvarite trikotnik, tako da je bila hipotenuza vedno polmer enote kroga, z enim vogalom na robu kroga in enim na sredini. To pomeni, da je hipotenuza = 1 v zgornjih enačbah, tako da prvi dve postaneta:
\ sin θ = \ frac {\ text {nasprotno}} {1} = \ text {nasprotno} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {sosednje}} {1} = \ besedilo {sosednje} \\
Če naredite zadevni kot tisti v središču kroga, je ravno nasprotno ley-koordinata in sosednja je samox-koordina točke na krožnici, ki se dotika trikotnika. Z drugimi besedami, greh vrney-koordinata na krogu enote (z uporabo koordinat, ki se začnejo v središču) za dani kot in cos vrnex-koordinat. Zato je cos (0) = 1 in sin (0) = 0, ker so na tej točki koordinate. Prav tako je cos (90) = 0 in sin (90) = 1, ker je to točka zx= 0 iny= 1. V obliki enačbe:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Tudi negativne kote je na podlagi tega lahko razumeti. Negativni koti (merjeni v smeri urnega kazalca od začetne točke) imajo enakexkoordinata kot ustrezen pozitiven kot, torej:
\ cos -θ = \ cos θ
Vendar pay-koordinatna stikala, kar pomeni, da
\ sin -θ = - \ sin θ
Definicija tan s krogom enote
Zgornja opredelitev zagorelosti je:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Toda z definicijami enotnega kroga sin in cos lahko vidite, da je to enakovredno:
\ tan θ = \ frac {\ text {nasproti}} {\ text {sosednje}}
Ali pa razmišljanje v smislu koordinat:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
To pojasnjuje, zakaj tan ni opredeljen za 90 ° ali −270 ° in 270 ° ali −90 ° (kjerx= 0), ker ne morete deliti z nič.
Grafiranje trigonometričnih funkcij
Grafiranje greha ali cos postane lažje, če pomislite na enoto kroga. Thex-koordinata se gladko spreminja, ko se premikate po krogu, začenši pri 1 in padajoči na najmanj -1 pri 180 °, nato pa narašča na enak način. Funkcija sin naredi isto, vendar se pri 90 ° najprej poveča na največ 1, preden sledi enakemu vzorcu. Obe funkciji naj bi bili med seboj 90 ° izven "faze".
Grafična rjava zahteva delitevyavtorx, zato je bolj zapleten za graf in ima tudi točke, kjer ni opredeljen.