V matematiki je vzajemna številka številka, ki, če jo pomnožimo s prvotno številko, da 1. Na primer, recipročna vrednost za spremenljivko x je 1 /x, Ker
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
V tem primeru 1 /xje vzajemna identitetax, in obratno. V trigonometriji lahko katerega koli kota, ki ni 90-stopinjski v pravokotnem trikotniku, določimo z razmerji, imenovanimi sinus, kosinus in tangenta. Z uporabo koncepta vzajemnih identitet matematiki opredelijo še tri razmerja. Njihova imena so kosekant, sekans in kotangens. Kosekant je vzajemna identiteta sinusa, sekanta kosinusa in kotangens identitete tangente.
Kako določiti vzajemne identitete
Razmislite o kotuθ, ki je eden od dveh kotov, ki niso 90-stopinjski v pravokotnem trikotniku. Če je dolžina stranice trikotnika nasproti kotu "b, "dolžina stranice, ki meji na kot in nasproti hipotenuz je"a"in dolžina hipotenuze je"r, "glede na te dolžine lahko določimo tri primarna trigonometrična razmerja.
\ text {sinus} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {kosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangenta} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Vzajemna identiteta grehaθmora biti enako 1 / sin θ, saj je to število, ki se pomnoži s sinomθ, proizvaja 1. Enako velja za cosθin porjaveloθ. Matematiki dajejo tem vzajemnim besedam imena kosekant, sekans in kotangens. Po definiciji:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangent} θ = \ otroška posteljica θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Te vzajemne identitete lahko določite glede na dolžine stranic pravokotnega trikotnika, kot sledi:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Naslednja razmerja veljajo za kateri koli kotθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ posteljica θ = 1
Dve drugi trigonometrični identiteti
Če poznate sinus in kosinus kota, lahko izpeljete tangento. To je res, ker
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {in} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, torej} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Ker je to definicija tan θ, sledi naslednja identiteta, znana kot količnik identitete:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ otroška posteljica θ
Pitagorejska identiteta izhaja iz dejstva, da za kateri koli pravokotni trikotnik s stranicamiainbin hipotenuzar, velja naslednje:a2 + b2 = r2. Če prerazporedite izraze in določite razmerja v smislu sinusa in kosinusa, pridete do naslednjega izraza:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Dva druga pomembna razmerja sledita, ko v zgornji izraz vstavite vzajemne identitete za sinus in kosinus:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ