Večina ljudi se spomniPitagorov izrekod začetniške geometrije - to je klasika. Je
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
kjea, bincso stranice pravokotnega trikotnika (cje hipotenuza). No, ta izrek lahko napišemo tudi za trigonometrijo!
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Pitagorove identitete so enačbe, ki pišejo pitagorejski izrek v smislu trig funkcij.
GlavniPitagorejske identiteteso:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ otroška posteljica ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pitagorejske identitete so primeritrigonometrične identitete: enačbe (enačbe), ki uporabljajo trigonometrične funkcije.
Zakaj je to pomembno?
Pitagorejske identitete so lahko zelo koristne za poenostavitev zapletenih trig stavkov in enačb. Zdaj si jih zapomnite in prihranite si lahko veliko časa na poti!
Dokaz z uporabo definicij trig funkcij
Te identitete je zelo enostavno dokazati, če pomislite na definicije trig funkcij. Na primer, dokažimo to
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Ne pozabite, da je definicija sinusa nasprotna stran / hipotenuza, kosinus pa sosednja stran / hipotenuza.
Torej
\ sin ^ 2 = \ frak {\ besedilo {nasproti} ^ 2} {\ besedilo {hipotenuza} ^ 2}
In
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {sosedno} ^ 2} {\ text {hipotenuza} ^ 2}
To dvoje lahko enostavno dodate, ker so imenovalci enaki.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frak {\ besedilo {nasproti} ^ 2 + \ besedilo {sosednje} ^ 2} {\ besedilo {hipotenuza} ^ 2}
Zdaj pa si oglejte še pitagorejski izrek. To pišea2 + b2 = c2. Upoštevajte toainbstojijo za nasprotno in sosednjo stran, incpomeni hipotenuzo.
Enačbo lahko preuredite tako, da obe strani delite zc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Oda2 inb2 so nasprotni in sosednji strani inc2 je hipotenuza, imate enakovredno izjavo kot zgornja, z (nasprotno2 + sosednji2) / hipotenuza2. In zahvaljujoč delu za, b, cin Pitagorin izrek, lahko vidite, da je ta izjava enaka 1!
Torej
\ frac {\ text {nasprotno} ^ 2 + \ text {sosednje} ^ 2} {\ text {hipotenuza} ^ 2} = 1
in zato:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(In bolje je, da to pravilno zapišemo: greh2(θ) + cos2(θ) = 1).
Vzajemne identitete
Vzemimo si nekaj minut za ogledvzajemne identiteteprav tako. Ne pozabite, davzajemnaje ena, deljena s ("nad") vašo številko - znano tudi kot obratno.
Ker je kosekant vzajemni sinus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
O kosekantu lahko razmišljate tudi z uporabo definicije sinusa. Na primer, sinus = nasprotna stran / hipotenuza. Inverzno temu bo ulomek, obrnjen na glavo, ki je hipotenuza / nasprotna stran.
Podobno je vzajemna vrednost kosinusa sekanta, zato je definirana kot
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {ali} \ frac {\ text {hipotenuza}} {\ text {sosednja stran}}
In tangensna vzajemnost je kotangens, torej
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {sosednja stran}} {\ text {nasprotna stran}}
Dokazi za pitagorejske identitete z uporabo sekanta in kosekanta so zelo podobni dokazom za sinus in kosinus. Enačbe lahko izpeljete tudi z uporabo "nadrejene" enačbe, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Obe strani razdelite na cos2(θ), da dobimo identiteto 1 + tan2(θ) = sek2(θ). Obe strani ločite po grehu2(θ), da dobite identiteto 1 + otroška posteljica2(θ) = csc2(θ).
Veliko sreče in si zapomnite vse tri pitagorejske identitete!