Angleški besedi "zaporedje" in "serija" imata podoben pomen, v matematiki pa gre za povsem drugačna pojma. Zaporedje je seznam številk, postavljenih v določenem vrstnem redu, niz pa je vsota takšnega seznama številk. Obstaja veliko vrst zaporedij, vključno s tistimi, ki temeljijo na neskončnih seznamih števil. Različna zaporedja in ustrezne serije imajo različne lastnosti in lahko dajo presenetljive rezultate.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Zaporedja so seznami številk, postavljenih v določenem vrstnem redu po danih pravilih. Niz, ki ustreza zaporedju, je vsota števil v tem zaporedju. Serije so lahko aritmetične, kar pomeni, da je med števili serij fiksna razlika, ali geometrične, kar pomeni, da obstaja določen faktor. Neskončne serije nimajo končne številke, vendar imajo lahko pod določenimi pogoji še vedno fiksno vsoto.
Vrste zaporedij in serij
Pogosta zaporedja so aritmetična ali geometrijska. V aritmetičnem zaporedju se vsako število ali člen zaporedja razlikuje od prejšnjega izraza za enak znesek. Če je na primer razlika v aritmetičnem zaporedju 2, je lahko ustrezno aritmetično zaporedje 1, 3, 5... Če je razlika -3, je lahko zaporedje 4, 1, -2... Aritmetično zaporedje je določeno z začetno številko in razliko.
Za geometrijska zaporedja se izrazi razlikujejo za faktor. Na primer zaporedje s faktorjem 2 je lahko 2, 4, 8... in zaporedje s faktorjem 0,75 je lahko 32, 24, 18... Geometrijsko zaporedje je določeno z začetno številko in faktorjem.
Vrste serij so odvisne od zaporedja, ki ga dodajamo. Aritmetična vrsta dodaja izraze aritmetičnega zaporedja, geometrijska vrsta pa geometrično zaporedje.
Končna in neskončna zaporedja in nizi
Zaporedja in ustrezne vrste lahko temeljijo na določenem številu izrazov ali neskončnem številu. Končno zaporedje ima začetno številko, razliko ali faktor in določeno skupno število izrazov. Na primer, prvo aritmetično zaporedje zgoraj z osmimi členi bi bilo 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Prvo geometrijsko zaporedje zgoraj s šestimi členi bi bilo 2, 4, 8, 16, 32, 64. Ustrezna aritmetična vrsta bi imela vrednost 64 in geometrijska vrsta 126. Neskončna zaporedja nimajo določenega števila izrazov in njihovi izrazi lahko rastejo v neskončnost, se zmanjšajo na nič ali se približajo fiksni vrednosti. Ustrezna serija ima lahko tudi neskončen, ničelni ali fiksni rezultat.
Konvergentne in divergentne serije
Neskončne vrste so različne, če se vsota približuje neskončnosti, ko se število členov poveča. Neskončna vrsta je konvergentna, če se njena vsota približa neskončni vrednosti, kot je nič ali drugo določeno število. Serije so konvergentne, če se izrazi osnovnega zaporedja hitro približajo ničli.
Serija, ki dodaja izraze neskončnega zaporedja 1, 2, 4... je različen, ker izrazi zaporedja nenehno rastejo, kar omogoča, da vsota s povečanjem števila doseže neskončno vrednost. Serije 1, 0,5, 0,25... je konvergenčna, ker izrazi hitro postanejo zelo majhni.
Čeprav so zaporedja urejeni seznami številk in serij, so vsote lahko oboje pomembno orodje ocenjevanje množic števil in lastnosti konvergence ali divergencije imajo lahko resnično življenje posledice. Divergentna vrsta pogosto predstavlja nestabilno stanje, konvergentna serija pa pogosto pomeni, da bosta proces ali struktura stabilni.