Kvadratne korenine pogosto najdemo v matematičnih in naravoslovnih problemih, vsak študent pa mora za reševanje teh vprašanj izbrati osnove kvadratnih korenin. Kvadratne korenine sprašujejo, »katero število, če se pomnoži, daje naslednji rezultat«, in kot takšno pri njihovem določanju morate o številkah razmišljati nekoliko drugače. Vendar lahko enostavno razumete pravila kvadratnih korenin in odgovorite na vsa vprašanja, ki jih vključujejo, ne glede na to, ali potrebujejo neposreden izračun ali samo poenostavitev.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Kvadratni koren vas vpraša, katero število, če se pomnoži samo, daje rezultat za simbolom √. Torej √9 = 3 in √16 = 4. Vsak koren ima tehnično pozitiven in negativen odgovor, vendar je v večini primerov pozitiven odgovor tisti, ki vas bo zanimal.
Kvadratne korenine lahko razdelite tako kot običajna števila, torej √ab = √a √bali √6 = √2√3.
Kaj je kvadratna korenina?
Kvadratne korenine so nasprotje "kvadratu" števila ali množenju samega. Na primer, tri na kvadrat je devet (32 = 9), torej je kvadratni koren iz devet tri. V simbolih je to
\ sqrt {9} = 3
Simbol “√” vam pove, da vzamete kvadratni koren števila, kar lahko najdete na večini kalkulatorjev.
Ne pozabite, da vsaka številka dejansko imadvakvadratne korenine. Tri, pomnožene s tri, je enako devet, toda negativne tri, pomnožene z negativnimi tri, so enake tudi devet, torej
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ besedilo {in} \ sqrt {9} = ± 3
z ± pomeni „plus ali minus“. V mnogih primerih lahko prezrete negativne kvadratne korenine števil, včasih pa je pomembno vedeti, da ima vsako število dve korenini.
Morda boste morali vnesti "kockasti koren" ali "četrti koren" števila. Koren kocke je število, ki je, če se dvakrat pomnoži, enako izvirnemu številu. Četrti koren je število, ki je trikrat pomnoženo s seboj enako prvotnemu številu. Tako kot kvadratne korenine so tudi ti ravno nasprotno od prevzema moči števil. Torej, 33 = 27, to pa pomeni, da je koren kocke iz 27 3, ali
\ sqrt [3] {27} = 3
Simbol “∛” predstavlja koren kocke števila, ki prihaja za njim. Korenine so včasih izražene tudi kot delne moči, torej
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ besedilo {in} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Poenostavitev kvadratnih korenin
Eno najzahtevnejših nalog, ki jih boste morda morali opraviti s kvadratnimi koreninami, je poenostavitev velikih kvadratnih korenin, vendar morate za spopadanje s temi vprašanji upoštevati le nekaj preprostih pravil. Kvadratne korenine lahko razstavite na enak način kot navadna števila. Tako je na primer 6 = 2 × 3, torej
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Poenostavitev večjih korenin pomeni postopno faktorizacijo in zapomnitev definicije kvadratnega korena. Na primer, √132 je velik koren in morda je težko videti, kaj storiti. Vendar lahko zlahka vidite, da je deljivo z 2, zato lahko pišete
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Vendar je 66 tudi deljivo z 2, zato lahko zapišete:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
V tem primeru kvadratni koren števila, pomnožen z drugim kvadratnim korenom, da samo prvotno število (zaradi definicije kvadratnega korena), torej
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Skratka, kvadratne korenine lahko poenostavite z uporabo naslednjih pravil
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Kaj je kvadratna korenina ...
Z zgornjimi definicijami in pravili lahko najdete kvadratne korenine večine števil. Tu je nekaj primerov, ki jih je treba upoštevati.
Kvadratni koren 8
Tega ni mogoče najti neposredno, ker ni kvadratni koren celega števila. Vendar uporaba pravil za poenostavitev daje:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Kvadratni koren 4
Pri tem je uporabljen preprost kvadratni koren iz 4, ki je √4 = 2. Težavo je mogoče natančno rešiti s pomočjo kalkulatorja in √8 = 2,8284 ...
Kvadratni koren 12
Z enakim pristopom poskusite izračunati kvadratni koren 12. Koren razdelite na faktorje in nato preverite, ali ga lahko znova razdelite na faktorje. Poskusite to kot težavo iz prakse in si oglejte spodnjo rešitev:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Tudi ta poenostavljeni izraz lahko po potrebi uporabimo pri problemih ali natančno izračunamo s pomočjo kalkulatorja. Kalkulator to pokaže
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Kvadratni koren 20
Kvadratni koren 20 lahko najdemo na enak način:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Kvadratni koren 32
Na koncu se z istim pristopom lotite kvadratnega korena iz 32:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Tukaj upoštevajte, da smo kvadratni koren 8 že izračunali kot 2√2 in da je √4 = 2, torej:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Kvadratna koren negativne številke
Čeprav definicija kvadratnega korena pomeni, da negativna števila ne bi smela imeti kvadratnega korena (ker se katero koli število pomnoži sam po sebi daje pozitivno število), so jih matematiki srečevali kot del problemov v algebri in oblikovali a rešitev. "Namišljeno" številojazpomeni "kvadratni koren minus 1", vse druge negativne korenine pa so izražene kot večkratnikijaz. Torej
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Te težave so bolj zahtevne, vendar se jih lahko naučite reševati na podlagi definicijejazin standardna pravila za korenine.
Primeri vprašanj in odgovorov
Preizkusite svoje razumevanje kvadratnih korenin tako, da po potrebi poenostavite in nato izračunate naslednje korenine:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Poskusite jih rešiti, preden pogledate spodnje odgovore:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196