Už ste niekedy premýšľali nad tým, koľko vody alebo kávy sa zmestí do jedného zo zdanlivo nespočetných plastových jednorazových pohárov na vodu, ktorý je pri základni užší ako hore? Inými slovami, takmer každý papierový, plastový alebo iný jednorazový pohár, aký ste kedy videli alebo použili? (Aby sme boli spravodliví, niektoré poháre nemajú skosené strany, a preto sú valcovité, ale zdá sa, že to platí len pre trvalé šálky.)
Vyššie opísaný typ tvaru je založený na a kužeľ, ktorý je výsledkom priamky prechádzajúcej vesmírom a sledujúcej zakrivenú cestu, ako napríklad kruh (v najjednoduchšom prípade) alebo elipsu. Šálka zvyčajne nie je špicatá (niektoré, ktoré obsahujú zmrznuté dobroty), ale stále je to geometrický tvar „kúsku“ šišky. Vďaka tomu je ľahké, s trpezlivosťou, nájsť požadovaný zväzok.
Objem kužeľa
Vzorec pre objem pravidelného alebo pravého kužeľa (tj. Kruhového základu) je
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2 h
Kde r je polomer základne a h je výška kužeľa. Tiež, pretože z boku, pravý kužeľ vyzerá ako dva pravé trojuholníky umiestnené spolu, dĺžka
s sklonenej strany kužeľa má rovnakú hodnotu ako prepona jedného z týchto trojuholníkov. Je to dané aplikáciou Pytagorovej vety: r2 + h2 = s2, taks = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Objem zúženého pohára: 1. časť
Povedzme, že máte pohár, ktorý je v základni široký 8 cm (cm), hore 10 cm naprieč a vysoký 15 cm. Koľko tekutiny pojme v cm3, nazývané tiež mililitre (ml)?
Jedným zo spôsobov riešenia tohto problému je nakreslenie prierezu pohára, to znamená toho, ako vyzerá zboku po rozrezaní presne na polovicu kolmo na vaše zorné pole. Ak nakreslíte zvislé čiary nahor z dvoch bodov, kde sa základňa stretáva so stranami po vrchol pohár, teraz ste rozdelili prierez na dva rovnaké, zrkadlové pravé trojuholníky aa obdĺžnik. Trojuholníky majú dlhé „nohy“ 15 cm a krátke „nohy“ 1 cm (rozdiel medzi základnou šírkou a hornou šírkou).
Objem zúženého pohára: časť druhá
Všimnite si, čo sa stane, ak roztiahnete bočné strany šálky vo vašom diagrame až po bod pod základňou. Rovnako predĺžte čiaru od stredu hornej časti smerom k bodu, ku ktorému sa tieto čiary zbiehajú. (Možno nebudete mať priestor na to, aby sa strany stretli a vytvorili uzavretý trojuholník, ale priblížte sa čo najbližšie,)
Na základe princípu podobných trojuholníkov viete, že pomer dlhej nohy trojuholníkov zhora (15 cm) k pomeru malej nohy (1 cm) alebo 15: 1, musí byť rovnaká ako pomer malej nohy k dlhej nohe jedného z novovytvorených trojuholníkov medzi základňou „pohára“ a bod. Pretože malá noha má hodnotu 4 cm, musí byť dlhá noha 15-krát väčšia alebo 60 cm.
Teraz sa teda zaoberáte prierezom kužeľa s celkovou výškou 15 + 60 = 75 cm a šírkou 10 cm, čo znamená polomer 5 cm. Objem tohto kužeľa mínus objem kužeľa siahajúci až po dno šálky, ktorá má výšku 60 cm a šírku 8 cm (r = 4 cm), dáva požadovaný výsledok:
\ begin {zarovnané} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {mL} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ text {mL} \ end {zarovnané}
Váš pohár teda pojme veľmi blízko 1 l (1 000 ml) tekutiny.
Kalkulačka objemu kužeľa a pohára
V zozname Zdroje nájdete zoznam kalkulačiek obsahujúcich kužele s rôznymi počiatočnými kombináciami informácií. Prípadne môžete použiť prístup, ktorý je uvedený vyššie, rozdeliť šálku na rôzne tvary a potom použiť jednoduchšie vzorce (napríklad vzorec pre objem kocky) v príslušných kombináciách na vyhľadanie súčtu objem.