Len čo začnete riešiť algebraické rovnice, ktoré zahŕňajú polynómy, stáva sa veľmi užitočnou schopnosť rozpoznávať špeciálne, ľahko zohľadňované formy polynómov. Jedným z najužitočnejších „ľahkofaktorových“ polynómov na zistenie je dokonalý štvorec alebo trojčlen, ktorý je výsledkom štvorcového rozdelenia na dvojčlen. Po identifikácii dokonalého štvorca je jeho zahrnutie do jednotlivých zložiek často dôležitou súčasťou procesu riešenia problému.
Predtým, ako budete môcť vytvoriť dokonalý štvorcový trojčlen, musíte sa ho naučiť rozpoznať. Dokonalý štvorec môže mať jednu z dvoch foriem
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, ktorý je produktom} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, ktoré je produktom} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Skontrolujte prvý a tretí člen trojčlenky. Sú to obidve štvorce? Ak áno, zistite, z čoho sú štvorce. Napríklad v druhom príklade „skutočného sveta“ uvedenom vyššie:
y ^ 2 - 2y + 1
termínr2 je zjavne štvorecr.Termín 1 je možno menej zreteľne štvorček 1, pretože 12 = 1.
Znásobte korene prvého a tretieho výrazu. Ak chcete pokračovať v príklade, je to takra 1, ktorá vám dávar × 1 = 1ralebo jednoduchor.
Potom produkt vynásobte číslom 2. V pokračovaní príkladu máte 2r.
Nakoniec porovnajte výsledok posledného kroku so stredným termínom polynómu. Zhodujú sa? V polynómer2 – 2r+ 1, robia. (Znak je irelevantný; bola by to tiež zhoda, ak by strednodobý termín bol +2r.)
Pretože odpoveď v kroku 1 bola „áno“ a váš výsledok z kroku 2 sa zhoduje so stredným obdobím polynómu, viete, že sa pozeráte na dokonalú štvorcovú trojčlenku.
Akonáhle viete, že sa dívate na dokonalú štvorcovú trojčlenku, proces jej faktorovania je celkom jednoduchý.
Identifikujte korene alebo čísla, ktoré sú na druhú, v prvom a treťom termíne trojčlenky. Zvážte ďalší z vašich príkladov trojčlenov, o ktorých už viete, že sú dokonalým štvorcom:
x ^ 2 + 8x + 16
Číslo, ktoré sa v prvom volebnom období stáva druhou, je samozrejmeX. Číslo, ktoré sa v treťom semestri zvyšuje na druhú, je 4, pretože 42 = 16.
Spomeňte si na vzorce pre dokonalé štvorcové trojčlenky. Vy viete, že vaše faktory budú mať buď formu (a + b)(a + b) alebo formulár (a – b)(a – b), kdeaabsú čísla na druhú v prvom a treťom termíne. Takže môžete napísať svoje faktory takto a zatiaľ vynechať znaky v strede každého volebného obdobia:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Ak chcete pokračovať v príklade nahradením koreňov svojej súčasnej trojčlenky, máte:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Skontrolujte strednodobý trojčlen. Má kladné alebo záporné znamienko (alebo inak povedané, pripočítava sa alebo odčíta)? Ak má kladné znamienko (alebo sa pridáva), potom majú oba faktory trojčlenky v strede znamienko plus. Ak má záporné znamienko (alebo sa odčíta), oba faktory majú záporné znamienko uprostred.
Strednodobý termín súčasného príkladu je trojčlennýX- je to pozitívne - takže ste teraz zohľadnili dokonalú štvorcovú trojčlenku:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Skontrolujte svoju prácu vynásobením týchto dvoch faktorov. Aplikácia FÓLIE alebo prvá, vonkajšia, vnútorná a posledná metóda vám dáva:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Zjednodušenie dáva výsledokX2 + 8X+ 16, ktoré zodpovedajú vášmu trinomiu. Faktory sú teda správne.
