Algebra často zahŕňa zjednodušenie výrazov, ale s niektorými výrazmi je mätúce viac ako s inými. Komplexné čísla zahŕňajú množstvo známe akoi, „imaginárne“ číslo s vlastnosťoui= √−1. Ak musíte jednoducho použiť výraz obsahujúci komplexné číslo, mohlo by sa vám to zdať skľučujúce, ale ak sa naučíte základné pravidlá, je to celkom jednoduchý proces.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Zjednodušte zložité čísla podľa pravidiel algebry so zložitými číslami.
Čo je to komplexné číslo?
Komplexné čísla sú definované ich zahrnutímivýraz, čo je druhá odmocnina mínus jedna. V matematike na základnej úrovni odmocniny záporných čísel v skutočnosti neexistujú, ale občas sa prejavia v problémoch s algebrou. Všeobecný formulár pre komplexné číslo ukazuje ich štruktúru:
z = a + bi
Kdezoznačí komplexné číslo,apredstavuje ľubovoľné číslo (nazýva sa „skutočná“ časť) abpredstavuje ďalšie číslo (nazývané „imaginárna“ časť), ktoré môže byť kladné alebo záporné. Príklad komplexného čísla je teda:
z = 2 −4i
Pretože všetky druhé odmocniny záporných čísel môžu byť reprezentované násobkami
Základné pravidlá pre algebru s komplexnými číslami
Ak chcete sčítať a odčítať zložité čísla, jednoducho sčítajte alebo odčítajte skutočnú a imaginárnu časť zvlášť. Takže pre komplexné číslaz = 2 – 4iaw = 3 + 5i, súčet je:
\ begin {zarovnané} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {zarovnané}
Odčítanie čísel funguje rovnakým spôsobom:
\ begin {zarovnané} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {zarovnané }
Násobenie je ďalšia jednoduchá operácia so zložitými číslami, pretože funguje ako bežné násobenie, až na to, že si to musíte pamätaťi2 = −1. Takže na výpočet 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Ale odkedyi2= -1, potom:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
S úplnými komplexnými číslami (pomocouz = 2 – 4iaw = 3 + 5iznova), vynásobíte ich rovnakým spôsobom ako pri bežných číslach ako (a + b) (c + d) pomocou metódy „prvý, vnútorný, vonkajší, posledný“ (FÓLIA) dať (a + b) (c + d) = ac + pred n. l + reklama + bd. Všetko, čo musíte pamätať, je zjednodušiť všetky prípadyi2. Napríklad:
\ begin {aligned} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {zarovnané}
Delenie zložitých čísel
Delenie komplexných čísel spočíva v vynásobení čitateľa a menovateľa zlomku komplexným konjugátom menovateľa. Komplexný konjugát znamená iba verziu komplexného čísla s imaginárnou časťou obrátenou v znamení. Tak prez = 2 – 4i, komplexný konjugátz = 2 + 4i, a prew = 3 + 5i, w = 3 −5i. Pre problém:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Potrebný konjugát jew*. Vydeľte čitateľa a menovateľa týmto spôsobom, čím získate:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
A potom sa prepracujete ako v predchádzajúcej časti. Čitateľ dáva:
\ begin {aligned} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {aligned}
A menovateľ dáva:
\ begin {aligned} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {align}
To znamená:
\ begin {zarovnané} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {zarovnaný}
Zjednodušenie zložitých čísel
Podľa potreby použite vyššie uvedené pravidlá na zjednodušenie zložitých výrazov. Napríklad:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
To sa dá zjednodušiť použitím pravidla sčítania v čitateli, pravidla násobenia v menovateli a následného dokončenia rozdelenia. Pre čitateľa:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Pre menovateľa:
\ begin {zarovnané} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {zarovnané}
Ich vrátením na miesto získate:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Vynásobenie obidvoch častí konjugátom menovateľa vedie k:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {zarovnané}
To teda znamenázzjednodušuje nasledovne:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {zarovnané}