Rovnicu roviny v trojrozmernom priestore možno zapísať algebraickým zápisom ako ax + by + cz = d, kde aspoň jeden z konštanty skutočného čísla „a“, „b“ a „c“ nesmú byť nulové a „x“, „y“ a „z“ predstavujú osi trojrozmerného priestoru lietadlo. Ak sú zadané tri body, môžete určiť rovinu pomocou vektorových krížových produktov. Vektor je čiara v priestore. Krížovým produktom je násobenie dvoch vektorov.
Získajte tri body v lietadle. Označte ich štítkami „A“, „B“ a „C.“ Predpokladajme napríklad, že tieto body sú A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); a C = (1, 3, 4).
Nájdite dva rôzne vektory v rovine. V príklade vyberte vektory AB a AC. Vektor AB prechádza z bodu A do bodu B a vektor AC prechádza z bodu A do bodu C. Takže odčítajte každú súradnicu v bode -A od každej súradnice v bode -B, aby ste získali vektor AB: (-2, 3, 1). Podobne je vektor AC bod C mínus bod A alebo (-2, 2, 3).
Vypočítajte krížový produkt dvoch vektorov a získate nový vektor, ktorý je normálny (alebo kolmý alebo ortogonálny) pre každý z dvoch vektorov a tiež pre rovinu. Krížový súčin dvoch vektorov (a1, a2, a3) a (b1, b2, b3) je daný N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). V príklade je krížový produkt N z AB a AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], čo zjednodušuje na N = 7i + 4j + 2k. Pamätajte, že „i“, „j“ a „k“ sa používajú na vyjadrenie vektorových súradníc.
Odvodiť rovnicu roviny. Rovnica roviny je Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, kde (a1, a2, a3) je ľubovoľný bod v rovine a (Ni, Nj, Nk ) je normálny vektor, N. V príklade pomocou bodu C, ktorý je (1, 3, 4), je rovnica roviny 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, čo zjednodušuje na 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 alebo 7x + 4y + 2z = 27.
Overte svoju odpoveď. Nahraďte pôvodné body a zistite, či vyhovujú rovnici roviny. Na záver príkladu, ak dosadíte ktorýkoľvek z troch bodov, uvidíte, že rovnica roviny je skutočne splnená.
Tipy
V Zdrojoch nájdete tipy, ako používať systémy troch simultánnych rovníc na nájdenie rovnice roviny.