Ak poznáte dva body, ktoré padajú na konkrétnu exponenciálnu krivku, môžete krivku definovať riešením všeobecnej exponenciálnej funkcie pomocou týchto bodov. V praxi to znamená dosadenie bodov za y a x v rovnici y = abX. Postup je jednoduchší, ak je hodnota x pre jeden z bodov 0, čo znamená, že bod je na osi y. Ak ani jeden bod nemá nulovú hodnotu x, proces riešenia pre x a y je o niečo zložitejší.
Prečo sú exponenciálne funkcie dôležité
Mnoho dôležitých systémov sleduje exponenciálne vzorce rastu a rozpadu. Napríklad počet baktérií v kolónii sa zvyčajne zvyšuje exponenciálne a radiácia v atmosfére po jadrovej udalosti sa zvyčajne exponenciálne znižuje. Zberom údajov a zakreslením krivky sú vedci v lepšej pozícii na predpovedanie.
Od dvojice bodov po graf
Akýkoľvek bod na dvojrozmernom grafe môže byť reprezentovaný dvoma číslami, ktoré sú zvyčajne zapísané dovnútra tvar (x, y), kde x definuje horizontálnu vzdialenosť od začiatku a y predstavuje vertikálu vzdialenosť. Napríklad bod (2, 3) sú dve jednotky napravo od osi y a tri jednotky nad osou x. Na druhej strane, bod (-2, -3) sú dve jednotky vľavo od osi y. a tri jednotky pod osou x.
Ak máte dva body, (x1, r1) a (x2, r2), môžete definovať exponenciálnu funkciu, ktorá prechádza týmito bodmi, ich dosadením do rovnice y = abX a riešenie pre a a b. Všeobecne musíte vyriešiť túto dvojicu rovníc:
r1 = abx1 a r2 = abx2, .
V tejto podobe vyzerá matematika trochu komplikovane, ale vyzerá to menej po vykonaní niekoľkých príkladov.
Jeden bod na osi X.
Ak je jedna z hodnôt x - povedzme x1 - je 0, operácia sa stáva veľmi jednoduchou. Napríklad riešenie rovnice pre body (0, 2) a (2, 4) poskytne:
2 = ab0 a 4 = ab2. Keďže vieme, že b0 = 1, prvá rovnica bude 2 = a. Nahradením a v druhej rovnici sa získa 4 = 2b2, ktoré zjednodušíme na b2 = 2 alebo b = druhá odmocnina z 2, čo sa rovná približne 1,41. Definujúca funkcia je potom y = 2 (1,41)X.
Ani Bod na osi X
Ak ani jedna hodnota x nie je nula, je riešenie dvojice rovníc o niečo ťažšie. Henochmat nás prevedie ľahkým príkladom na objasnenie tohto postupu. Vo svojom príklade si vybral dvojicu bodov (2, 3) a (4, 27). Takto sa získa nasledujúca dvojica rovníc:
27 = ab4
3 = ab2
Ak vydelíte prvú rovnicu druhou, získate
9 = b2
takže b = 3. Je možné, že b sa bude rovnať aj -3, ale v takom prípade predpokladajme, že je to kladné.
Túto hodnotu môžete nahradiť b v ktorejkoľvek rovnici a získať a. Je jednoduchšie použiť druhú rovnicu, takže:
3 = a (3)2 ktoré možno zjednodušiť na 3 = a9, a = 3/9 alebo 1/3.
Rovnicu, ktorá prechádza týmito bodmi, je možné zapísať ako y = 1/3 (3)X.
Príklad zo skutočného sveta
Od roku 1910 bol rast ľudskej populácie exponenciálny a vynesením krivky rastu sú vedci v lepšej pozícii na predpovedanie a plánovanie budúcnosti. V roku 1910 bola svetová populácia 1,75 miliárd a v roku 2010 to bolo 6,87 miliárd. Ak sa vezme ako východiskový bod rok 1910, získa sa dvojica bodov (0, 1,75) a (100, 6,87). Pretože hodnota x prvého bodu je nula, môžeme ľahko nájsť a.
1,75 = ab0 alebo a = 1,75. Zapojením tejto hodnoty spolu s hodnotami druhého bodu do všeobecnej exponenciálnej rovnice vznikne 6,87 = 1,75b100, ktorá dáva hodnotu b ako stý koreň 6,87 / 1,75 alebo 3,93. Rovnica sa teda stáva y = 1,75 (stotina z 3,93)X. Aj keď to trvá viac ako len posuvné pravidlo, vedci môžu pomocou tejto rovnice premietnuť budúci počet obyvateľov, aby pomohli politikom v súčasnosti vytvárať vhodné politiky.