Riešenie nerovností absolútnej hodnoty je veľa ako riešenie rovníc absolútnej hodnoty, treba však mať na pamäti niekoľko ďalších podrobností. Pomáha vám už byť pohodlným riešením rovníc absolútnej hodnoty, ale je v poriadku, ak sa ich tiež učíte spolu!
Definícia nerovnosti absolútnej hodnoty
V prvom rade, anabsolútna hodnotová nerovnosťje nerovnosť, ktorá zahŕňa vyjadrenie absolútnej hodnoty. Napríklad,
| 5 + x | - 10> 6
je nerovnosť absolútnej hodnoty, pretože má znak nerovnosti> a výraz absolútnej hodnoty | 5 +X |.
Ako vyriešiť nerovnosť absolútnej hodnoty
Thekroky na riešenie nerovnosti absolútnej hodnotysú podobne ako kroky na riešenie rovnice absolútnej hodnoty:
Krok 1:Izolujte výraz absolútnej hodnoty na jednej strane nerovnosti.
Krok 2:Vyriešte pozitívnu „verziu“ nerovnosti.
Krok 3:Vyriešte negatívnu „verziu“ nerovnosti vynásobením množstva na druhej strane nerovnosti −1 a preklopením znaku nerovnosti.
Je toho veľa, čo je potrebné zapojiť naraz, takže tu je príklad, ktorý vás prevedie týmito krokmi.
Vyriešiť nerovnosť preX:
| 5 + 5x | - 3> 2
Ak to chcete urobiť, získajte | 5 + 5X| sám na ľavej strane nerovnosti. Všetko, čo musíte urobiť, je pridať 3 na každú stranu:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Teraz musíme vyriešiť dve „verzie“ nerovnosti: pozitívnu „verziu“ a negatívnu „verziu“.
V tomto kroku budeme predpokladať, že veci sú v pôvodnom stave: 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Toto je jednoduchá nerovnosť; len musis riesit preXako zvyčajne. Odčítajte 5 od oboch strán, potom vydelte obe strany číslom 5.
\ begin {aligned} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(odčítať päť z oboch strán)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(vydeľte obe strany piatimi)} \\ & x> 0 \ end {zarovnané}
Nie zlé! Jedným z možných riešení našej nerovnosti je teda toX> 0. Teraz, keď ide o absolútne hodnoty, je na čase zvážiť inú možnosť.
Aby sme pochopili tento ďalší kúsok, pomôže nám to zapamätať si, čo znamená absolútna hodnota.Absolútna hodnotameria vzdialenosť čísla od nuly. Vzdialenosť je vždy kladná, takže 9 je deväť jednotiek od nuly, ale −9 je tiež deväť jednotiek od nuly.
Takže | 9 | = 9, ale | −9 | = 9 rovnako.
Teraz späť k problému vyššie. Vyššie uvedená práca ukázala, že | 5 + 5X| > 5; inými slovami, absolútna hodnota „niečoho“ je vyššia ako päť. Teraz bude akékoľvek kladné číslo väčšie ako päť ďalej od nuly ako päť. Prvá možnosť teda bola, že „niečo“ 5 + 5X, je väčšie ako 5.
To je:
5 + 5x> 5
To je scenár riešený vyššie, v kroku 2.
Teraz premýšľajte trochu ďalej. Čo ešte je päť jednotiek od nuly? Negatívna päťka je. A čokoľvek ďalej pozdĺž číselnej čiary od zápornej päťky bude ešte ďalej od nuly. Takže naším „niečím“ môže byť záporné číslo, ktoré je ďalej od nuly ako záporná päťka. To znamená, že by to bolo znejúce číslo, ale technickymenej akozáporná päťka, pretože sa pohybuje v negatívnom smere na číselnej čiare.
Takže naše „niečo“ 5 + 5x môže byť menšie ako -5.
5 + 5x
Rýchly spôsob, ako to urobiť algebraicky, je vynásobiť množstvo na druhej strane nerovnosti, 5, zápornou hodnotou a potom otočiť znak nerovnosti:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Potom vyriešte ako obvykle.
\ begin {aligned} & 5 + 5x
Existujú teda dve možné riešenia nerovnostiX> 0 aleboX< −2. Skontrolujte sa zapojením niekoľkých možných riešení a uistite sa, že nerovnosť stále platí.
Nerovnosti v absolútnej hodnote bez riešenia
Existuje scenár, kde by bolžiadne riešenia absolútnej hodnotovej nerovnosti. Pretože absolútne hodnoty sú vždy kladné, nemôžu byť rovnaké alebo menšie ako záporné čísla.
Takže |X| žiadne riešeniepretože výsledok výrazu absolútnej hodnoty musí byť pozitívny.
Intervalová notácia
Napísať riešenie nášho hlavného príkladu v jazykuintervalová notácia, porozmýšľajte, ako riešenie vyzerá na číselnej čiare. Naše riešenie boloX> 0 aleboX< −2. Na číselnej čiare je to otvorená bodka na 0, s čiarou vystupujúcou do kladného nekonečna, a otvorená bodka na -2, s čiarou vyčnievajúcou ďalej do záporného nekonečna. Tieto riešenia smerujú od seba, nie k sebe, takže každý kúsok berte osobitne.
Pre x> 0 na číselnom riadku je otvorená bodka na nule a potom čiara siahajúca do nekonečna. V intervalovom zápise je otvorená bodka znázornená zátvorkami () a uzavretá bodka alebo nerovnosti s ≥ alebo ≤ by používali zátvorky []. Tak preX> 0, zápis (0, ∞).
Druhá polovica,X
„Alebo“ v intervalovom zápise je znak únie, ∪.
Riešenie v intervalovom zápise teda je
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)