V matematike niekedy vzniká potreba dokázať, či sú funkcie v lineárnom zmysle navzájom závislé alebo nezávislé. Ak máte dve funkcie, ktoré sú lineárne závislé, výsledkom grafu rovníc týchto funkcií budú body, ktoré sa prekrývajú. Funkcie s nezávislými rovnicami sa pri grafe neprekrývajú. Jednou z metód na určenie, či sú funkcie závislé alebo nezávislé, je výpočet Wronskian pre dané funkcie.
Čo je Wronskian?
Wronskian dvoch alebo viacerých funkcií je tzv. Determinant, čo je špeciálna funkcia používaná na porovnávanie matematických objektov a na dokazovanie určitých faktov o nich. V prípade Wronskiana sa determinant používa na preukázanie závislosti alebo nezávislosti medzi dvoma alebo viacerými lineárnymi funkciami.
Wronskianova matica
Ak chcete vypočítať Wronskian pre lineárne funkcie, je potrebné vyriešiť funkcie pre rovnakú hodnotu v matici, ktorá obsahuje funkcie aj ich derivácie. Príkladom toho je
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix})
ktorý poskytuje Wronskianovi dve funkcie (
Riešenie Wronskian
Keď máte funkcie usporiadané v matici, vynásobte každú funkciu deriváciou druhej funkcie a od druhej odčítajte prvú hodnotu. V príklade vyššie vám to dáva
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Ak sa konečná odpoveď rovná nule, ukazuje to, že obe funkcie sú závislé. Ak je odpoveďou niečo iné ako nula, funkcie sú nezávislé.
Wronskianov príklad
Predpokladajme, že ak si chcete lepšie predstaviť, ako to funguje
f (t) = x + 3 \ text {a} g (t) = x - 2
Pomocou hodnotyt= 1, môžete vyriešiť funkcie ako
f (1) = 4 \ text {a} g (1) = -1
Pretože sa jedná o základné lineárne funkcie so sklonom 1, derivácie obochf(t) ag(t) rovná sa 1. Znásobenie vašich hodnôt dáva
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
ktorá poskytuje konečný výsledok 5. Aj keď majú lineárne funkcie rovnaký sklon, sú nezávislé, pretože sa ich body neprekrývajú. Akf(t) priniesol výsledok -1 namiesto 4, Wronskian by dal na určenie závislosti namiesto toho výsledok nula.