Naučiť sa pracovať s exponentmi je neoddeliteľnou súčasťou každého matematického vzdelávania, ale pravidlá ich násobenia a delenia sa, našťastie, zhodujú s pravidlami pre nefrakčné exponenty. Prvým krokom k pochopeniu toho, ako zaobchádzať s zlomkovými exponentmi, je získať prehľad o tom, čo presne sú, a potom sa môžete pozrieť na spôsoby, ako kombinovať exponenty, keď sú znásobené alebo rozdelené a majú rovnaké základňa. Stručne povedané, exponenty pri vynásobení sčítate a pri delení jeden od druhého odčítate, ak majú rovnaký základ.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Násobte výrazy exponentmi pomocou všeobecného pravidla:
Xa + Xb = X(a + b)
A rozdeľte pojmy s exponentmi pomocou pravidla:
Xa ÷ Xb = X(a – b)
Tieto pravidlá fungujú s akýmkoľvek výrazom namiestoaab, dokonca zlomky.
Čo sú zlomkoví exponenti?
Frakčné exponenty poskytujú kompaktný a užitočný spôsob vyjadrenia druhej, kocky a vyšších koreňov. Menovateľ exponenta vám hovorí, aký koreň „základného“ čísla predstavuje výraz. V termíne akoXa, zavolášXzákladňu aaexponent. Zlomkový exponent vám povie:
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Menovateľ dvoch na exponente vám hovorí, že beriete druhú odmocninu zXv tomto vyjadrení. Rovnaké základné pravidlo platí pre vyššie korene:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
A
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Tento vzorec pokračuje. Pre konkrétny príklad:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
A
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Pravidlá frakčných exponentov: Násobenie frakčných exponentov s rovnakou základňou
Násobte výrazy zlomkovými exponentmi (za predpokladu, že majú rovnaký základ) sčítaním exponentov. Napríklad:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
OdkedyX1/3 znamená „koreň kocky zX”, Dáva zmysel, že toto dvojnásobné znásobenie výsledku poskytne výsledokX. Môžete tiež naraziť na príklady akoX1/3 × X1/3, ale s týmito narábate úplne rovnako:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Skutočnosť, že výraz na konci je stále zlomkovým exponentom, v tomto procese nijako nezmení. To sa dá zjednodušiť, ak si to uvedomíteX2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. Pri takomto výraze nezáleží na tom, či najskôr vezmete koreň alebo silu. Tento príklad ukazuje, ako ich vypočítať:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Pretože kockový koreň 8 je ľahko vypracovateľný, riešte to nasledovne:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
To znamená:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Môžete sa tiež stretnúť s produktmi zlomkových exponentov s rôznymi číslami v menovateľoch zlomkov a tieto exponenty môžete pridať rovnakým spôsobom, ako by ste pridali ďalšie zlomky. Napríklad:
\ begin {aligned} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {zarovnané}
Toto sú všetko konkrétne výrazy všeobecného pravidla pre násobenie dvoch výrazov exponentmi:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Pravidlá frakčných exponentov: Rozdelenie frakčných exponentov na rovnakom základe
Vyriešte rozdelenie dvoch čísel s zlomkovými exponentmi tak, že odčítate exponent, ktorý delíte (deliteľ), od deleného exponenta (dividenda). Napríklad:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
To dáva zmysel, pretože akékoľvek delené číslo sa rovná jednej a to súhlasí so štandardným výsledkom, že akékoľvek číslo zdvihnuté na mocninu 0 sa rovná jednej. Nasledujúci príklad používa čísla ako základy a rôzne exponenty:
\ begin {aligned} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ end {zarovnané}
Čo tiež môžete vidieť, ak si všimnete, že 161/2 = 4 a 161/4 = 2.
Rovnako ako pri násobení, aj tu môžete skončiť s zlomkovými exponentmi, ktoré majú v čitateli iné číslo ako jedno, ale s týmito narábate rovnako.
Jednoducho vyjadrujú všeobecné pravidlo delenia exponentov:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Násobenie a delenie zlomkových exponentov na rôznych základoch
Ak sú základy na pojmoch rôzne, neexistuje jednoduchý spôsob, ako rozmnožovať alebo deliť exponenty. V týchto prípadoch jednoducho vypočítajte hodnotu jednotlivých výrazov a potom vykonajte požadovanú operáciu. Jedinou výnimkou je, ak je exponent rovnaký. V takom prípade ich môžete vynásobiť alebo rozdeliť nasledovne:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4