Čo sú to skutočné čísla?

Skutočné čísla sú všetky čísla na číselnej rade siahajúce od záporného nekonečna cez nulu po kladné nekonečno. Táto konštrukcia množiny reálnych čísel nie je ľubovoľná, skôr je výsledkom vývoja z prirodzených čísel použitých na počítanie. Systém prirodzených čísel má niekoľko nezrovnalostí a ako sa výpočty stávali zložitejšími, číselný systém sa rozšíril, aby vyriešil svoje obmedzenia. Pri skutočných číslach poskytujú výpočty konzistentné výsledky a existuje niekoľko výnimiek alebo obmedzení, aké existovali pri primitívnejších verziách číselného systému.

TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)

Množina reálnych čísel sa skladá zo všetkých čísel na číselnej čiare. Patria sem prirodzené čísla, celé čísla, celé čísla, racionálne čísla a iracionálne čísla. Nezahŕňa imaginárne čísla ani komplexné čísla.

Uzávierka je vlastnosť množiny čísel, čo znamená, že ak sa vykonávajú povolené výpočty pre čísla, ktoré sú členmi množiny, odpoveďami budú aj čísla, ktoré sú členmi množiny. Súprava je vraj zatvorená.

Prirodzené čísla sú počítacie čísla, 1, 2, 3... a množina prirodzených čísel nie je uzavretá. Pretože sa v obchode používali prirodzené čísla, okamžite nastali dva problémy. Zatiaľ čo prirodzené čísla počítali skutočné objekty, napríklad kravy, ak mal farmár päť kráv a predal päť kráv, pre výsledok neexistovalo žiadne prirodzené číslo. Systémy skorých čísel veľmi rýchlo vyvinuli pojem nula, aby tento problém vyriešili. Výsledkom bol systém celých čísel, čo sú prirodzené čísla plus nula.

Druhý problém bol spojený aj s odčítaním. Pokiaľ počet počítal skutočné predmety, ako napríklad kravy, farmár nemohol predať viac kráv, ako mal. Ale keď sa čísla stali abstraktnými, odčítanie väčších čísel od menších dávalo odpovede mimo systému celých čísel. Vo výsledku boli zavedené celé čísla, čo sú celé čísla plus záporné prirodzené čísla. Číselný systém teraz obsahoval celý číselný rad, ale iba s celými číslami.

Výpočty v uzavretom číselnom systéme by mali poskytnúť odpovede z číselného systému pre operácie ako sčítanie a násobenie, ale aj pre ich inverzné operácie, odčítanie a rozdelenie. Systém celých čísel je uzavretý pre sčítanie, odčítanie a násobenie, ale nie pre delenie. Ak je celé číslo vydelené iným celým číslom, výsledkom nie je vždy celé číslo.

Rozdelením malého celého čísla na väčšie získate zlomok. Takéto zlomky sa pridali do číselného systému ako racionálne čísla. Racionálne čísla sú definované ako akékoľvek čísla, ktoré je možné vyjadriť ako pomer dvoch celých čísel. Akékoľvek ľubovoľné desatinné číslo možno vyjadriť ako racionálne číslo. Napríklad 2,864 je 2864/1000 a 0,89632 je 89632/100 000. Číselná rada sa teraz javila ako úplná.

Na číselnej čiare sú čísla, ktoré nemožno vyjadriť ako zlomok celých čísel. Jednou z nich je pomer strán pravouhlého trojuholníka k prepone. Ak sú dve strany pravouhlého trojuholníka 1 a 1, prepona je druhá odmocnina z 2. Druhá odmocnina dvoch je nekonečné desatinné miesto, ktoré sa neopakuje. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a zahŕňajú všetky reálne čísla, ktoré nie sú racionálne. S touto definíciou je číselný rad všetkých reálnych čísel úplný, pretože akékoľvek iné reálne číslo, ktoré nie je racionálne, je zahrnuté do definície iracionálneho.

Aj keď sa hovorí, že riadok skutočného čísla siaha od záporného do kladného nekonečna, nekonečno samotné nie je a skutočné číslo, ale skôr koncept číselného systému, ktorý ho definuje ako množstvo väčšie ako ktorékoľvek iné číslo. Matematicky nekonečno je odpoveďou na 1 / x, keď x dosiahne nulu, ale delenie nulou nie je definované. Ak by nekonečno bolo číslo, viedlo by to k rozporom, pretože nekonečnosť nedodržiava zákony aritmetiky. Napríklad nekonečno plus 1 je stále nekonečno.

Množina reálnych čísel je uzavretá pre sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie okrem delenia nulou, ktoré nie je definované. Sada nie je zatvorená najmenej pre jednu ďalšiu operáciu.

Pravidlá násobenia v množine reálnych čísel určujú, že násobenie záporného a a kladné číslo dáva záporné číslo, zatiaľ čo násobenie kladných alebo záporných čísel dáva kladné číslo odpovede. To znamená, že špeciálny prípad spoločného násobenia čísla vedie k kladnému číslu pre kladné aj záporné číslo. Inverziou tohto špeciálneho prípadu je druhá odmocnina kladného čísla, ktorá dáva kladnú aj zápornú odpoveď. Pre druhú odmocninu záporného čísla neexistuje odpoveď v množine reálnych čísel.

Koncept množiny imaginárnych čísel sa zaoberá otázkou záporných odmocnín v reálnych číslach. Druhá odmocnina mínus 1 je definovaná ako i a všetky imaginárne čísla sú násobky i. Na dokončenie teórie čísel je sada komplexných čísel definovaná tak, že zahŕňa všetky reálne a všetky imaginárne čísla. Reálne čísla sa dajú naďalej vizualizovať na vodorovnej číselnej čiare, zatiaľ čo imaginárne čísla sú zvislá číselná čiara, pričom dve sa pretínajú na nule. Komplexné čísla sú body v rovine dvoch číselných radov, každá so skutočnou a imaginárnou zložkou.