Pridajte hodnoty troch uhlov v ľubovoľnom trojuholníku a získate 180 stupňov. Ak máte pravý trojuholník, jeden z jeho uhlov je podľa definície 90 stupňov. To znamená, že súčet ostatných dvoch uhlov musí byť 90 stupňov, a ak poznáte jeden z nich, môžete okamžite nájsť druhý. Ako však zistiť uhly, ak také nevieš? Odpoveďou je spoliehať sa na ďalšiu dôležitú vlastnosť trojuholníka, dĺžky jeho strán. Súvisia s veľkosťou uhlov.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Nájdite uhly v pravom trojuholníku výpočtom ich sínusu, kosínusu alebo dotyčnice, ktoré sú funkciami dĺžok strán trojuholníka.
Sínus, kosínus a dotyčnica
Keď si vyberiete, ktorý z dvoch uhlov (ø) v pravom trojuholníku chcete nájsť, vytvoríte vo vzťahu k nemu tri strany. Čiara, ktorá sa dotýka uhla a siaha do 90-stupňového uhla, sa nazývasusednéstrane, zatiaľ čo strana oproti uhlu jeopakstrana. Thepreponaje vždy strana oproti pravému uhlu. Na základe týchto definícií matematici používajú tri pomery, ktoré definujú uhol z hľadiska dĺžok strán:
Sine (hriech)je pomer opačnej strany k prepone:
\ sin ø = \ frac {\ text {oproti}} {\ text {hypotenuse}}
Cosine (cos)je pomer susednej strany k prepone:
\ cos ø = \ frac {\ text {susedný}} {\ text {hypotenuse}}
Tangenciálny (opálený)je pomer opačnej strany k susednej strane:
\ tan ø = \ frac {\ text {oproti}} {\ text {susedné}}
Každý pomer každej dvojice čiar zodpovedá konkrétnemu uhlu a tieto pomery sú uvedené v tabuľkách spolu s uhlami, ktoré definujú. Ak dokážete zmerať dĺžky najmenej dvoch strán pravého trojuholníka, stačí vypočítať sínus, kosínus alebo tangensu uhla a vyhľadať ho pomocou tabuľky.
Rebrík proti múru
Jednou z najznámejších aplikácií týchto princípov v reálnom svete je rebrík opretý o zvislú stenu. Dôležitá je veľkosť uhlov, ktoré rebrík formuje so zemou a stenou. Ak je uhol proti stene príliš malý, rebrík klesne dozadu, zatiaľ čo ak je uhol na zemi príliš malý, rebrík skĺzne. Pretože uhol medzi stenou a zemou je 90 stupňov, môžete pomocou sínusu, kosínusu alebo dotyčnice vypočítať dva uhly, ktoré rebrík zviera, a môžete tak zabrániť nehode.
Rebrík tvorí preponu pravého trojuholníka.
Táto vzdialenosť je susednou stranou pri určovaní uhla, ktorý rebrík zviera so zemou.
Pomocou kosínusových stolov nájdite uhol, ktorý rebrík zviera so zemou. Vypočítajte pomer susednej strany k prepone a potom vyhľadajte pomer v tabuľke kosínusov a nájdite zodpovedajúci uhol.
Vypočítajte uhol, ktorý rebrík zviera so stenou, odčítaním uhla, ktorý ste práve našli, od 90. Prípadne môžete nájsť hodnotu tohto uhla pomocou sínusovej tabuľky.
Príklad
Rebrík dlhý 20 stôp spočíva o stranu domu a vzdialenosť od základne rebríka po základňu je 12 stôp. Aké sú uhly, ktoré rebrík zviera so zemou a domom?
Vypočítajte kosínus uhla, ktorý rebrík vytvára so zemou. Je to
\ frac {12} {20} = 0,6
Pomocou tabuľky kosínusov (alebo vedeckej kalkulačky) zistíte, že uhol je takmer presne 53 stupňov. Takto sa uhol rebríka dotýka steny
90 - 53 = 36 \ text {stupne}
Tipy
Ak používate kalkulačku a poznáte kosínus uhla, stlačte kos-1 kľúč na nájdenie uhla. To isté platí pre sínus a tangens.