V algebre sú sekvencie čísel cenné pre štúdium toho, čo sa stane, keď sa niečo stále zväčšuje alebo zmenšuje. Aritmetická postupnosť je definovaná spoločným rozdielom, ktorým je rozdiel medzi jedným číslom a ďalším v poradí. Pre aritmetické sekvencie je tento rozdiel konštantnou hodnotou a môže byť kladný alebo záporný. Výsledkom je, že aritmetická postupnosť sa neustále zväčšuje alebo zmenšuje o pevnú hodnotu zakaždým, keď je do zoznamu tvoriaceho postupnosť pridané nové číslo.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Aritmetická sekvencia je zoznam čísel, v ktorých sa postupné termíny líšia o konštantnú veľkosť, spoločný rozdiel. Keď je spoločný rozdiel kladný, postupnosť sa neustále zvyšuje o pevnú hodnotu, zatiaľ čo ak je záporná, postupnosť klesá. Ďalšie bežné postupnosti sú geometrická postupnosť, v ktorej sa termíny líšia o spoločný faktor, a Fibonacciho postupnosť, v ktorej je každé číslo súčtom dvoch predchádzajúcich čísel.
Ako funguje aritmetická sekvencia
Aritmetická postupnosť je definovaná počiatočným číslom, bežným rozdielom a počtom výrazov v postupnosti. Napríklad aritmetická sekvencia začínajúca na 12, spoločný rozdiel 3 a piatich výrazov je 12, 15, 18, 21, 24. Príkladom klesajúcej sekvencie je sekvencia začínajúca číslom 3, spoločný rozdiel −2 a šesť členov. Táto postupnosť je 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmetické sekvencie môžu mať tiež nekonečný počet výrazov. Napríklad prvá sekvencia vyššie s nekonečným počtom výrazov by bola 12, 15, 18,... a táto sekvencia pokračuje do nekonečna.
Aritmetický priemer
Aritmetická sekvencia má zodpovedajúcu sériu, ktorá pridáva všetky členy sekvencie. Keď sa sčítajú výrazy a súčet sa vydelí počtom výrazov, výsledkom je aritmetický priemer alebo priemer. Vzorec pre aritmetický priemer je
\ text {mean} = \ frac {\ text {súčet} n \ text {terms}} {n}
Rýchly spôsob výpočtu priemeru aritmetickej postupnosti je použitie pozorovania, že keď je prvý a posledný sčítané výrazy, súčet je rovnaký, ako keď sa pridá druhý a nasledujúci posledný výraz alebo tretí a tretí predposledný výraz podmienky. Výsledkom je, že súčet postupnosti je súčtom prvého a posledného výrazu krát polovica počtu výrazov. Ak chcete získať priemer, súčet sa vydelí počtom členov, takže priemer aritmetickej postupnosti je polovica súčtu prvého a posledného člena. Prenpodmienkya1 doan, zodpovedajúci vzorec pre priemer m je
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Nekonečné aritmetické sekvencie nemajú posledný výraz, a preto je ich stredná hodnota nedefinovaná. Namiesto toho možno nájsť priemer pre čiastočný súčet obmedzením súčtu na definovaný počet výrazov. V takom prípade možno čiastočný súčet a jeho priemer nájsť rovnakým spôsobom ako v prípade nekonečnej postupnosti.
Ďalšie typy sekvencií
Postupnosti čísel často vychádzajú z pozorovaní z experimentov alebo meraní prírodných javov. Takými sekvenciami môžu byť náhodné čísla, ale často sa ukážu ako aritmetické alebo iné usporiadané zoznamy čísel.
Napríklad geometrické sekvencie sa líšia od aritmetických sekvencií, pretože majú skôr spoločný faktor ako spoločný rozdiel. Namiesto pridania alebo odpočítania čísla pre každý nový výraz sa číslo vynásobí alebo rozdelí zakaždým, keď sa pridá nový výraz. Sekvencia, ktorá je 10, 12, 14,... ako aritmetická sekvencia so spoločným rozdielom 2 sa stane 10, 20, 40,... ako geometrická postupnosť so spoločným faktorom 2.
Ostatné sekvencie sa riadia úplne inými pravidlami. Napríklad Fibonacciho sekvenčné členy sú tvorené pridaním predchádzajúcich dvoch čísel. Jeho postupnosť je 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Aby sa získal čiastočný súčet, musia sa výrazy pridať jednotlivo, pretože rýchly postup pridania prvého a posledného výrazu pre túto postupnosť nefunguje.
Aritmetické sekvencie sú jednoduché, ale majú skutočné aplikácie. Ak je východiskový bod známy a je možné nájsť spoločný rozdiel, je možné vypočítať hodnotu série v konkrétnom budúcom bode a tiež určiť priemernú hodnotu.