V matematike je postupnosťou akýkoľvek reťazec čísel usporiadaný v poradí, ktoré sa zvyšuje alebo znižuje. Sekvencia sa stane geometrickou sekvenciou, keď ste schopní získať každé číslo vynásobením predchádzajúceho čísla spoločným faktorom. Napríklad série 1, 2, 4, 8, 16... je geometrická postupnosť so spoločným faktorom 2. Ak vynásobíte ľubovoľné číslo v rade číslom 2, získate ďalšie číslo. Naopak, postupnosť 2, 3, 5, 8, 14, 22... nie je geometrický, pretože medzi číslami nie je spoločný faktor. Geometrická sekvencia môže mať zlomkový spoločný faktor, v takom prípade je každé nasledujúce číslo menšie ako to, ktoré pred ním nasleduje. 1, 1/2, 1/4, 1/8... je príklad. Jeho spoločný faktor je 1/2.
Skutočnosť, že geometrická sekvencia má spoločný faktor, vám umožňuje robiť dve veci. Prvým je výpočet ľubovoľného náhodného prvku v postupnosti (ktorý matematici radi nazývajú „n"prvkom") a druhým je vyhľadanie súčtu geometrickej postupnosti až ponth element. Keď sčítate sekvenciu tak, že medzi každú dvojicu výrazov vložíte znamienko plus, urobíte z nej geometrický rad.
Nájdenie n-tého prvku v geometrickej sérii
Všeobecne môžete ľubovoľnú geometrickú sériu reprezentovať nasledujúcim spôsobom:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
kde "a„je prvý termín v sérii a“r„je spoločný faktor. Ak to chcete skontrolovať, zvážte sériu, v ktoreja= 1 ar= 2. Získate 1 + 2 + 4 + 8 + 16... funguje to!
Po stanovení je teraz možné odvodiť vzorec pre n-tý člen v poradí (Xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Exponent jen- Skôr ako 1naby bolo možné prvý výraz v poradí zapísať akoar0, čo sa rovná „a."
Skontrolujte to výpočtom 4. termínu v príkladovej sérii.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Výpočet súčtu geometrickej postupnosti
Ak chcete spočítať divergentnú postupnosť, ktorá má bežnú dávku väčšiu ako 1 alebo menšiu ako -1, môžete to urobiť iba do konečného počtu členov. Je možné vypočítať súčet nekonečnej konvergentnej sekvencie, ktorá je taká, ktorá má spoločný pomer medzi 1 a - 1.
Ak chcete vytvoriť vzorec geometrického súčtu, začnite zvážením toho, čo robíte. Hľadáte celkovo nasledujúce série doplnkov:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Každý výraz v sérii jearkakide z 0 don− 1. Vzorec pre súčet sérií využíva znamienko veľkého sigma - ∑ - čo znamená pridať všetky výrazy z (k= 0) až (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Ak to chcete skontrolovať, zvážte súčet prvých 4 členov geometrického radu začínajúcich na 1 a majúcich spoločný faktor 2. Vo vyššie uvedenom vzorcia = 1, r= 2 an= 4. Po pripojení týchto hodnôt získate:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
To sa dá ľahko overiť tak, že sami pridáte čísla v sérii. V skutočnosti, keď potrebujete súčet geometrických radov, je zvyčajne jednoduchšie pridať čísla sami, keď existuje iba niekoľko výrazov. Ak má séria veľké množstvo výrazov, je oveľa jednoduchšie použiť vzorec geometrického súčtu.