Niekedy je potrebné nájsť nenulový vektor, ktorý nám po vynásobení štvorcovou maticou vráti násobok vektora. Tento nenulový vektor sa nazýva „vlastný vektor“. Vlastné vektory nezaujímajú iba matematikov, ale aj ostatných v profesiách ako fyzika a inžinierstvo. Aby ste ich mohli vypočítať, budete musieť pochopiť maticovú algebru a determinanty.
Naučte sa a pochopte definíciu „vlastného vektora“. Nachádza sa pre štvorcovú maticu n x n A a tiež a skalárna vlastná hodnota s názvom „lambda“. Lambdu predstavuje grécke písmeno, tu to však skrátime Ľ Ak existuje nenulový vektor x, kde Ax = Lx, tento vektor x sa nazýva „vlastná hodnota A.“
Nájdite vlastné hodnoty matice pomocou charakteristickej rovnice det (A - LI) = 0. „Det“ znamená determinant a „I“ je matica identity.
Vypočítajte vlastný vektor pre každú vlastnú hodnotu nájdením vlastného priestoru E (L), ktorý je prázdnym priestorom charakteristickej rovnice. Nenulové vektory E (L) sú vlastnými vektormi A. Nájdeme ich zapojením vlastných vektorov späť do charakteristickej matice a nájdením základu pre A - LI = 0.
Vypočítajte vlastné čísla pomocou charakteristickej rovnice. Det (A - LI) je (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, čo je charakteristický polynóm. Ak to vyriešime algebraicky, dostaneme L1 = 4 a L2 = 2, ktoré sú vlastnými hodnotami našej matice.
Nájdite vlastný vektor pre L = 4 vypočítaním nulového priestoru. Urobte to tak, že do charakteristickej matice umiestnite L1 = 4 a nájdete základ pre A - 4I = 0. Ak to vyriešime, nájdeme x - y = 0 alebo x = y. Toto má iba jedno nezávislé riešenie, pretože sú si rovné, napríklad x = y = 1. Preto v1 = (1,1) je vlastný vektor, ktorý preklenuje vlastný priestor L1 = 4.
Opakujte krok 6, aby ste našli vlastný vektor pre L2 = 2. Nájdeme x + y = 0 alebo x = --y. Toto má tiež jedno nezávislé riešenie, napríklad x = - 1 a y = 1. Preto v2 = (--1,1) je vlastný vektor, ktorý preklenuje vlastný priestor L2 = 2.