Osvojenie si pojmov sínus a kosínus je neoddeliteľnou súčasťou trigonometrie. Ale keď už budete mať tieto nápady pod palcom, stanú sa základnými stavebnými kameňmi pre ďalšie užitočné nástroje v trigonometrii a neskôr v kalkulu. Napríklad „zákon kosínov“ je špeciálny vzorec, pomocou ktorého môžete nájsť chýbajúcu stranu trojuholníka, ak viete dĺžka ďalších dvoch strán plus uhol medzi nimi, alebo nájsť uhly trojuholníka, keď poznáte všetky tri bočné strany.
Zákon kozínov
Zákon kosínusov prichádza v niekoľkých verziách, podľa toho, s akými uhlami alebo stranami trojuholníka máte do činenia:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
V každom prípade,a, bacsú strany trojuholníka aA, BaleboC.je uhol oproti strane rovnakého písmena. TakžeAje uhol protiľahlej stranya, Bje uhol protiľahlej stranybaC.je uhol protiľahlej stranyc. Toto je forma rovnice, ktorú použijete, ak zistíte dĺžku jednej zo strán trojuholníka.
Zákon kosínov možno prepísať aj do verzií, ktoré uľahčujú nájdenie ktoréhokoľvek z troch uhlov trojuholníka za predpokladu, že poznáte dĺžky všetkých troch strán trojuholníka:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Riešenie pre stranu
Ak chcete použiť zákon kosínusov na riešenie pre stranu trojuholníka, potrebujete tri informácie: dĺžky ďalších dvoch strán trojuholníka plus uhol medzi nimi. Vyberte verziu vzorca, kde strana, ktorú chcete nájsť, je naľavo od rovnice a informácie, ktoré už máte, sú na pravej strane. Takže ak chcete zistiť dĺžku bokua, použili by ste verziu
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Nahraďte do vzorca hodnoty dvoch známych strán a uhol medzi nimi. Ak má váš trojuholník známe stranybacktoré merajú 5 jednotiek a 6 jednotiek a uhol medzi nimi je 60 stupňov (čo by sa tiež mohlo vyjadriť v radiánoch ako π / 3), mali by ste:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Pomocou tabuľky alebo kalkulačky vyhľadajte hodnotu kosínu; v tomto prípade cos (60) = 0,5, čím získate rovnicu:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Zjednodušte výsledok kroku 2. Získate tak:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Čo následne zjednodušuje:
a ^ 2 = 31
Vyriešte druhú odmocninu oboch strán a dokončite riešeniea. Zostane vám:
a = \ sqrt {31}
Aj keď na odhad hodnoty √31 môžete použiť graf alebo svoju kalkulačku (je to 5 568), často vám bude dovolené - a dokonca vám bude odporúčané - nechať odpoveď v presnejšej radikálnej podobe.
Riešenie pre uhol
Rovnakým spôsobom môžete zistiť ľubovoľný z uhlov trojuholníka, ak poznáte všetky jeho tri strany. Tentokrát zvolíte verziu vzorca, ktorá umiestni chýbajúci uhol alebo „neviem to“ na ľavú stranu znamienka rovnosti. Predstavte si, že chcete nájsť mieru uhla C (ktorá je, samozrejme, definovaná ako uhol protiľahlej stranyc). Použili by ste túto verziu vzorca:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Nahraďte známe hodnoty - v tomto type problému, to znamená dĺžky všetkých troch strán trojuholníka - do rovnice. Ako príklad môžeme uviesť bočné strany trojuholníkaa= 3 jednotky,b= 4 jednotky ac= 25 jednotiek. Vaša rovnica sa teda stane:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Po zjednodušení výslednej rovnice budete mať:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
alebo jednoducho cos (C.) = 0.
Vypočítajte inverzný kosínus alebo oblúkový kosínus z 0, často označené ako cos-1(0). Alebo inými slovami, ktorý uhol má kosínus 0? V skutočnosti existujú dva uhly, ktoré vracajú túto hodnotu: 90 stupňov a 270 stupňov. Podľa definície však viete, že každý uhol v trojuholníku musí byť menší ako 180 stupňov, takže ako alternatíva zostáva iba 90 stupňov.
Takže veľkosť vášho chýbajúceho uhla je 90 stupňov, čo znamená, že máte do činenia s pravouhlým trojuholníkom, aj keď táto metóda funguje rovnako aj s nepravými trojuholníkmi.