Čo sú vety o trojuholníku podobnosti?

Podobné trojuholníky majú rovnaký tvar, ale nie nevyhnutne rovnakú veľkosť. Ak sú si trojuholníky podobné, majú veľa rovnakých vlastností a vlastností. Vety o podobnosti trojuholníka určujú podmienky, za ktorých sú si dva trojuholníky podobné, a zaoberajú sa stranami a uhlami každého trojuholníka. Akonáhle konkrétna kombinácia uhlov a strán uspokojí vety, môžete trojuholníky považovať za podobné.

TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)

Existujú tri vety podobnosti trojuholníka, ktoré určujú, za akých podmienok sú si trojuholníky podobné:

• Ak sú dva z uhlov rovnaké, tretí uhol je rovnaký a trojuholníky sú podobné.
  
• Ak sú tri strany v rovnakom pomere, sú trojuholníky podobné.
• Ak sú dve strany v rovnakých pomeroch a zahrnutý uhol je rovnaký, trojuholníky sú podobné.

Ak sú dva z uhlov dvoch trojuholníkov rovnaké, trojuholníky sú podobné. Z pozorovania vyplýva, že tri uhly trojuholníka sa musia sčítať až do 180 stupňov. Ak sú známe dva z uhlov, tretí možno nájsť odpočítaním dvoch známych uhlov od 180. Ak sú tri uhly dvoch trojuholníkov rovnaké, majú trojuholníky rovnaký tvar a sú si podobné.

Ak sú všetky tri strany dvoch trojuholníkov rovnaké, trojuholníky sú si nielen podobné, ale aj rovnaké alebo zhodné. U podobných trojuholníkov musia byť tri strany dvoch trojuholníkov iba proporcionálne. Napríklad ak má jeden trojuholník strany 3, 5 a 6 palcov a druhý trojuholník má strany 9, 15 a 18. palcov, každá zo strán väčšieho trojuholníka je trojnásobkom dĺžky jednej zo strán menšieho trojuholník. Boky sú navzájom úmerné a trojuholníky podobné.

Dva trojuholníky sú si podobné, ak sú dve strany dvoch trojuholníkov proporčné a zahrnutý uhol alebo uhol medzi stranami je rovnaký. Napríklad ak dve zo strán trojuholníka majú veľkosť 2 a 3 palce a strany iného trojuholníka sú 4 a 6 palce, strany sú proporcionálne, ale trojuholníky nemusia byť podobné, pretože dve tretie strany môžu byť ľubovoľné dĺžka. Ak je zahrnutý uhol rovnaký, potom sú všetky tri strany trojuholníkov proporcionálne a trojuholníky podobné.

Ak je jedna z troch viet trojuholníka o podobnosti splnená pre dva trojuholníky, sú trojuholníky podobné. Existujú ale aj ďalšie možné kombinácie bočných uhlov, ktoré môžu alebo nemusia zaručiť podobnosť.

Pre konfigurácie známe ako uhol-uhol-strana (AAS), uhol-uhol-strana (ASA) alebo bočný-uhol-uhol (SAA) nezáleží na tom, aké veľké sú strany; trojuholníky budú vždy podobné. Tieto konfigurácie sa redukujú na vetu AA o uhle, ktorá znamená, že všetky tri uhly sú rovnaké a trojuholníky podobné.

Konfigurácia bočného uhla alebo bočnej strany však nezabezpečujú podobnosť. (Nezamieňajte si bočný uhol s bočným uhlom; „boky“ a „uhly“ v každom názve označujú poradie, v akom sa stretnete so stranami a uhlami.) V určitých prípadoch, ako napr. pre pravouhlé trojuholníky, ak sú dve strany proporcionálne a uhly, ktoré nie sú zahrnuté, sú rovnaké, sú trojuholníky podobný. Vo všetkých ostatných prípadoch môžu alebo nemôžu byť trojuholníky podobné.

Podobné trojuholníky do seba zapadajú, môžu mať rovnobežné strany a mierku od jedného k druhému. Určenie, či sú si dva trojuholníky podobné, pomocou viet o trojuholníku je dôležité, keď sa tieto charakteristiky používajú na riešenie geometrických problémov.