Rovnako ako v algebre, aj keď sa začnete učiť trigonometriu, budete zhromažďovať množiny vzorcov, ktoré sú užitočné pri riešení problémov. Jednou takouto súpravou sú identifikačné čísla polovičného uhla, ktoré môžete použiť na dva účely. Jedným z nich je prevod trigonometrických funkcií (θ/ 2) do funkcií v zmysle známejších (a ľahšie manipulovateľných)θ. Druhou je vyhľadanie skutočnej hodnoty trigonometrických funkciíθ, kedyθmožno vyjadriť ako polovicu známejšieho uhla.
Revízia identít polovičného uhla
Veľa učebníc matematiky bude uvádzať štyri primárne polovičné uhlové identity. Ale použitím zmesi algebry a trigonometrie je možné tieto rovnice masírovať do množstva užitočných foriem. Nemusíte si nevyhnutne pamätať všetky tieto veci (pokiaľ na tom váš učiteľ nebude trvať), ale mali by ste pochopiť, ako ich používať:
Polovičná identita pre Sine
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Polovičná identita pre kosínus
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Polovičné uhly pre tangens
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Polovičné uhly totožnosti pre kotangens
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Príklad použitia identít polovičného uhla
Ako teda používate identitu s polovičným uhlom? Prvým krokom je rozpoznanie, že máte do činenia s uhlom, ktorý je o polovicu známym uhlom.
- Kvadrant I: všetky spúšťacie funkcie
- Kvadrant II: iba sínus a kosekans
- Kvadrant III: iba dotyčnica a kotangenta
- Kvadrant IV: iba kosínus a secan
predstavte si, že vás požiadajú, aby ste našli sínus uhla 15 stupňov. Toto nie je jeden z uhlov, pre ktoré si väčšina študentov zapamätá hodnoty spúšťacích funkcií. Ale ak necháte 15 stupňov rovných θ / 2 a potom vyriešite θ, zistíte, že:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Pretože výsledný θ, 30 stupňov, je známejší uhol, bude tu užitočné použiť vzorec polovičného uhla.
Pretože ste boli požiadaní, aby ste našli sínus, je na výber skutočne len jeden z pol uhlových vzorcov:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Nahradenie vθ/ 2 = 15 stupňov aθ= 30 stupňov vám dáva:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Ak by sa od vás žiadalo, aby ste našli dotyčnicu alebo kotangensu, ktoré obidve polovične znásobujú spôsoby vyjadrenia ich totožnosti v polovičnom uhle, jednoducho by ste si vybrali verziu, ktorá vyzerala najľahšie.
Znamienko ± na začiatku niektorých identít s polovičným uhlom znamená, že príslušný koreň môže byť pozitívny alebo negatívny. Túto nejednoznačnosť môžete vyriešiť použitím svojich znalostí o trigonometrických funkciách v kvadrantoch. Tu je rýchla rekapitulácia toho, ktoré návratové funkcie sa vrátiapozitívnehodnoty, v ktorých kvadranty:
Pretože v tomto prípade predstavuje váš uhol θ 30 stupňov, ktoré spadajú do kvadrantu I, viete, že sínusová hodnota, ktorú vráti, bude kladná. Môžete teda pustiť znamienko ± a jednoducho vyhodnotiť:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Nahraďte známu a známu hodnotu cos (30). V takom prípade použite presné hodnoty (na rozdiel od desatinných aproximácií z grafu):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Ďalej zjednodušte pravú stranu rovnice, aby ste našli hodnotu pre hriech (15). Začnite vynásobením výrazu pod radikálom číslom 2/2, čím získate:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
To zjednodušuje:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Potom môžete rozdeliť druhú odmocninu na 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Vo väčšine prípadov je to zhruba toľko, koľko by ste zjednodušili. Aj keď výsledok nemusí byť strašne pekný, sínus neznámeho uhla ste preložili do presného množstva.