Ako nájsť vertikálne a horizontálne asymptoty

Keď sú vyjadrené v grafe, niektoré funkcie sú spojité od záporného nekonečna do pozitívneho nekonečna. To však neplatí vždy: iné funkcie sa prerušia v bode nespojitosti alebo sa vypnú a nikdy sa nedostanú za určitý bod v grafe. Vertikálne a horizontálne asymptoty sú priame čiary, ktoré definujú hodnotu, ku ktorej sa daná funkcia blíži, ak sa nerozšíri do nekonečna v opačných smeroch. Horizontálne asymptoty sa vždy riadia vzorcom y = C, zatiaľ čo vertikálne asymptoty sa vždy riadia podobným vzorcom x = C, kde hodnota C predstavuje ľubovoľnú konštantu. Nájsť asymptoty, či už sú to asymptoty horizontálne alebo vertikálne, je ľahká úloha, ak urobíte niekoľko krokov.

Ak chcete nájsť vertikálnu asymptotu, najskôr napíšte funkciu, od ktorej chcete určiť asymptotu. S najväčšou pravdepodobnosťou pôjde o funkciu racionálnu, kde je premenná x zahrnutá niekde v menovateli. Spravidla platí, že keď sa menovateľ racionálnej funkcie blíži k nule, má vertikálnu asymptotu. Po napísaní svojej funkcie nájdite hodnotu x, ktorá robí menovateľa rovným nule. Napríklad, ak je funkcia, s ktorou pracujete, y = 1 / (x + 2), mali by ste vyriešiť rovnicu x + 2 = 0, rovnicu, ktorá má odpoveď x = -2. Pre zložitejšie funkcie môže byť možné viac ako jedno riešenie.

Keď nájdete hodnotu x vašej funkcie, vezmite limit funkcie, keď sa x blíži k hodnote, ktorú ste našli, z oboch smerov. V tomto príklade, keď sa x blíži k -2 zľava, y sa blíži k negatívnemu nekonečnu; keď sa -2 priblíži sprava, y sa priblíži k pozitívnemu nekonečnu. To znamená, že graf funkcie sa pri diskontinuite rozdelí a skočí z negatívneho nekonečna do pozitívneho nekonečna. Ak pracujete s komplexnejšou funkciou, ktorá má viac ako jedno možné riešenie, budete musieť vziať limit každého možného riešenia. Nakoniec napíšte rovnice vertikálnych asymptot funkcie tak, že nastavíte x na každú z hodnôt použitých v limitoch. V tomto príklade existuje iba jedna asymptota: vzhľadom na rovnicu sa vertikálna asymptota rovná x = -2.

Zatiaľ čo pravidlá pre vodorovné asymptoty sa môžu mierne líšiť od pravidiel pre vodorovné asymptoty, proces hľadania vodorovných asymptot je rovnako jednoduchý ako hľadanie tých vertikálnych. Začnite napísaním svojej funkcie. Horizontálne asymptoty možno nájsť v širokej škále funkcií, ale opäť sa s najväčšou pravdepodobnosťou nájdu v racionálnych funkciách. V tomto príklade je funkciou y = x / (x-1). Vezmite limit funkcie, keď sa x blíži k nekonečnu. V tomto príklade možno „1“ ignorovať, pretože sa stáva nevýznamným, keď sa x blíži k nekonečnu (pretože nekonečno mínus 1 je stále nekonečno). Funkcia sa teda stane x / x, čo sa rovná 1. Preto sa limit, keď sa x blíži k nekonečnu x / (x-1), rovná 1.

Použite riešenie limitu na napísanie svojej asymptotovej rovnice. Ak je riešením pevná hodnota, existuje vodorovná asymptota, ale ak je riešenie nekonečné, neexistuje vodorovná asymptota. Ak je riešením iná funkcia, existuje asymptota, ale nie je ani vodorovná, ani zvislá. V tomto príklade je vodorovná asymptota y = 1.

Ak sa zaoberáte problémami s trigonometrickými funkciami, ktoré majú asymptoty, nemusíte sa obávať: hľadanie asymptotov pre tieto funkcie je rovnako jednoduché ako postupovať podľa rovnakých krokov, ktoré používate na vyhľadanie vodorovných a zvislých asymptot racionálnych funkcií, pomocou rôznych prvkov limity. Pri pokuse o to je však dôležité si uvedomiť, že trig funkcie sú cyklické a vo výsledku môžu mať veľa asymptot.