Ako vysvetliť rôzne typy dôkazov v geometrii

Zmierte sa s tým: Dôkazy nie sú ľahké. A v geometrii sa zdá, že sa to zhoršuje, pretože teraz musíte obrázky pretaviť do logických výrokov a robiť závery na základe jednoduchých kresieb. Rôzne typy dôkazov, ktoré sa naučíte v škole, môžu byť spočiatku ohromujúce. Ale keď pochopíte každý typ, zistíte, že je oveľa jednoduchšie obtočiť hlavu, kedy a prečo v geometrii používať rôzne typy nátlačkov.

Priamy dôkaz funguje ako šíp. Začínate s danými informáciami a na nich staviate, pohybujte sa smerom k hypotéze, ktorú chcete dokázať. Pri použití priameho dôkazu použijete závery, pravidlá z geometrie, definície geometrických tvarov a matematickú logiku. Priamy dôkaz je najštandardnejším typom dôkazu a pre mnohých študentov štýlom go-to proof pre riešenie geometrických úloh. Napríklad, ak viete, že bod C je stredom priamky AB, môžete dokázať, že AC = CB podľa pomocou definície stredového bodu: Bod, ktorý leží v rovnakej vzdialenosti od každého konca čiary segment. Týmto sa vypracuje definícia stredného bodu a počíta sa to ako priamy dôkaz.

Nepriamy dôkaz je ako bumerang; umožňuje vám to zvrátiť problém. Namiesto toho, aby ste pracovali iba na zadaných výrokoch a tvaroch, problém zmeníte tak, že vezmete výrok, ktorý chcete dokázať, a za predpokladu, že nie je pravdivý. Odtiaľ ukážete, že to nemôže byť pravda, čo stačí na dokázanie, že je to pravda. Aj keď to znie zmätočne, môže to zjednodušiť mnoho dôkazov, ktoré sa zdajú ťažké dokázať priamym dôkazom. Napríklad si predstavte, že máte vodorovnú čiaru AC, ktorá prechádza bodom B, a v bode B je čiara kolmá na AC s koncovým bodom D, nazývaná čiara BD. Ak chcete dokázať, že miera uhla ABD je 90 stupňov, môžete začať zvážením, čo by to znamenalo, keby miera ABD nebola 90 stupňov. To by vás viedlo k dvom nemožným záverom: AC a BD nie sú kolmé a AC nie je priamka. Ale obidve tieto skutočnosti boli uvedené v probléme, čo je rozporuplné. To stačí na dokázanie, že ABD má 90 stupňov.

Niekedy sa stretnete s problémom, ktorý vás žiada, aby ste dokázali, že niečo nie je pravda. V takom prípade môžete pomocou štartovacej rampy vyraziť z cesty priameho riešenia problému a poskytnúť protiklad, ktorý ukáže, že niečo nie je pravda. Ak použijete protiklad, na preukázanie vášho bodu vám stačí jeden dobrý protiklad a dôkaz bude platný. Napríklad ak potrebujete potvrdiť alebo zneplatniť výrok „Všetky lichobežníky sú rovnobežníky“, stačí uviesť iba jeden príklad lichobežníka, ktorý nie je rovnobežníkom. Môžete to urobiť nakreslením lichobežníka iba s dvoma rovnobežnými stranami. Existencia tvaru, ktorý ste práve nakreslili, by vyvrátila tvrdenie „Všetky lichobežníky sú rovnobežníky.“

Rovnako ako geometria je vizuálna matematika, vývojový diagram alebo prietokový dôkaz je vizuálnym typom dôkazu. V prehľade prietoku začnete zapísaním alebo nakreslením všetkých informácií, ktoré poznáte, vedľa seba. Odtiaľto urobte závery, ktoré napíšete do riadku nižšie. Týmto spôsobom „zhromažďujete“ svoje informácie a vytvárate niečo ako pyramídu obrátenú hore nohami. Informácie, ktoré musíte urobiť, použijete na vyvodenie ďalších záverov v riadkoch nižšie, až kým sa nedostanete na dno. Jediné vyhlásenie, ktoré problém dokazuje. Napríklad môžete mať priamku L, ktorá prechádza bodom P priamky MN, a otázka vás požiada, aby ste preukázali MP = PN, keďže L rozdeľuje MN. Mohli by ste začať napísaním danej informácie a hore napísaním „L bisects MN at P“. Pod ňu napíšte informáciu, ktorá z danej informácie vyplýva: Piškvorky vytvárajú dva zhodné segmenty úsečky. Vedľa tohto tvrdenia napíšte geometrický fakt, ktorý vám pomôže dostať sa k dôkazu; v prípade tohto problému pomáha skutočnosť, že kongruentné úsečky majú rovnakú dĺžku. Napíš to. Pod tieto dve informácie môžete napísať záver, ktorý samozrejme nasleduje: MP = PN.