14. marec (3/14) je Dňom Pi (nehovoriac o narodeninách Alberta Einsteina) a stal sa tak dôležitou udalosťou, že bol oficiálne uznaný Snemovňou reprezentantov USA v roku 2009.
Existuje mnoho spôsobov, ako môžete oslavovať túto príležitosť, od najjednoduchších a najzábavnejších (pečenie skutočného koláča so symbolom π na vrchu), až po matematickejšie a zaujímavejšie. Tu na Sciencingu, uvidíme nikdy odradiť vás od výroby koláča, ale existuje veľa ďalších jedinečných aktivít, ktoré by vás mohli baviť pri pečení alebo po zjedení jedného alebo dvoch plátkov.
Aj keď ľudia vedia o pi už viac ako 4 000 rokov, jednou z hlavných úloh, ktorej sa matematici venovali, bolo stále lepšie a lepšie priblíženie nekonečne sa rozširujúcich desatinných miest. Samozrejme, do 31 sa nikdy nedostanete bilión číslice, ktoré sú v súčasnosti známe, ale môžete použiť niektoré jedinečné metódy, aby ste sa dostali dosť blízko k slávnemu číslu.
Obdĺžniková metóda
Tento prístup je praktickejší ako ostatné na tomto zozname, takže budete potrebovať kompas a ceruzku, kúsok papiera alebo karty, pravítko, nožnice a uhlomer. Najskôr na kúsok karty nakreslite kruh, aby ste poznali polomer. Ďalej rozdeľte kruh na 12 rovnakých sektorov (napríklad plátky pizze) a vyberte jeden z nich, aby ste ho opäť rozdelili na dve rovnaké časti, čím vznikne celkovo 13 sektorov.
Vystrihnite kruh a vyrežte sektory. Usporiadajte sektory do tvaru obdĺžnika s rovnou hranou menších sektorov v oboch krátky okraj a tenký koniec jedného kusu úhľadne zasunutý medzi zakrivené konce dvoch susedných kusov. Výška obdĺžnika je polomer kruhu a šírka je polovica obvodu pôvodného kruhu.
Pretože obvod = 2 × π × polomer, máme:
\ text {šírka} = π × \ text {polomer}
A môžete odhadnúť pi pomocou:
π = \ frac {\ text {šírka}} {\ text {polomer}}
Všetko, čo musíte urobiť, je zmerať dlhú stranu obdĺžnika a vydeliť ich polomerom, aby ste získali aproximáciu pí.
Archimedova polygónová aproximácia pre Pi
Archimedes použil jednoduchú, ale výkonnú metódu na aproximáciu hodnoty pí, v podstate obklopil kruh s dvoma mnohouholníkmi, jedným tesne vo vnútri a druhým tesne za čiarou kruhu. Obvod kruhu musí byť medzi obvodom týchto dvoch mnohouholníkov a na základe toho môžete vypočítať pí. Aproximácia je čoraz lepšia, keď do polygónov pridáte ďalšie strany (príklad nájdete v Zdrojoch).
Môžete to urobiť jedným z dvoch spôsobov, ako to urobiť sami. Najjednoduchšie je, že si môžete nakresliť mnohouholníky sami a pomocou trigonometrie vyhľadať alebo doslova zmerať obvod a potom výsledok rozdeliť o 2_r_ (tj. 2-násobok polomeru kruhu), aby sa našli hranice pre pí (s tým, že vnútorný tvar dáva minimum a vonkajší tvar dáva maximálne.
Prípadne použite jednoduchý vzorec založený na kružnici s priemerom 1 (t.j. r = 1/2):
π = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) n
Kde θ je uhol v strede jednej z trojuholníkových častí tvaru a n je počet strán. Ak teda používate dvadsaťstranný polygón, jednoducho ho vydelíte 360 ° (celý kruh) 20, aby ste ich našli θ.
Buffonova ihla
Jedna z najgeniálnejších metód odhadu pí sa nazýva Buffonova ihla, pomenovaná po francúzskom filozofovi Georgesovi-Louisovi Leclercovi, Comte de Buffonovi, ktorý tento prístup objavil. Získajte kúsok papiera a nakreslite na neho súpravu rovnako rozmiestnených rovnobežných čiar so vzdialenosťou medzi nimi, ktorú budeme nazývať d, potom na kúsok papiera položte veľa tyčiniek. Kľúčom k tomuto prístupu je použitie tyčiniek s dĺžkou l to je menej ako vzdialenosť medzi čiarami, takže ak používate zápalky, mali by ste sa ubezpečiť, že ste čiary oddelili o viac ako je dĺžka zápalky.
Pi môžete odhadnúť na základe:
π = \ frac {2ls} {cd}
kde l a d sú definované vyššie, s je celkový počet tyčiniek, ktoré ste spadli na papier, a c je počet tyčiniek, ktoré prekračujú čiaru. Toto je štatistický prístup k hľadaniu odpovede, takže čím viac tyčiniek odhodíte, tým lepší odhad získate. Je to vlastne forma simulácie Monte Carlo na zisťovanie hodnoty pí.
Ak sa to zdá byť veľa práce (a vyčistenia!), Existuje online verzia, ktorú môžete použiť na simuláciu experimentu (pozri Zdroje).