Kinematika: Čo to je a prečo je to dôležité? (s príkladmi)

Kinematika je matematické odvetvie fyziky, ktoré pomocou rovníc opisuje pohyb objektov (konkrétnetrajektórie) bez odkazu na sily.

Tieto rovnice vám umožňujú jednoducho zapojiť rôzne čísla do jedného zo štyroch základnýchkinematické rovnicenájsť neznáme v týchto rovniciach bez použitia akýchkoľvek poznatkov z fyziky stojacej za týmto pohybom alebo bez akýchkoľvek znalostí fyziky. Byť dobrý v algebre je dostatočné na to, aby ste sa prebojovali cez jednoduché problémy s projektilom bez toho, aby ste získali skutočné ocenenie pre základnú vedu.

Na riešenie sa bežne používa kinematikaklasická mechanikaproblémy s pohybom vjeden rozmer(pozdĺž priamky) alebo vdva rozmery(s vertikálnymi aj horizontálnymi komponentmi, ako vpohyb strely​).

V skutočnosti sa udalosti popisované ako vyskytujúce sa v jednej alebo dvoch dimenziách odohrávajú v bežnom trojrozmernom priestore, ale pre účely kinematiky, x má „pravý“ (pozitívny) a „ľavý“ (negatívny) smer a y má „hore“ (pozitívny) a „dole“ (negatívny) smery. Pojem „hĺbka“ - to znamená smer priamo k vám a od vás - nie je v tejto schéme zohľadnený a zvyčajne ho už nie je potrebné vysvetľovať.

Kinematické problémy sa v niektorých kombináciách zaoberajú polohou, rýchlosťou, zrýchlením a časom. Rýchlosť je rýchlosť zmeny polohy vzhľadom na čas a zrýchlenie je rýchlosť zmeny rýchlosti vzhľadom na čas; ako je každá odvodená, je problém, s ktorým sa môžete pri výpočte stretnúť. V každom prípade sú teda dvoma základnými pojmami v kinematike poloha a čas.

Viac informácií o týchto jednotlivých premenných:

• Pozíciu a posunutie predstavuje znaksúradnicový systém x, y, alebo niekedyθ(Grécke písmeno theta, používané v uhloch v geometrii pohybu) arv polárnom súradnicovom systéme. V jednotkách SI (medzinárodný systém) je vzdialenosť v metroch (m).
• Rýchlosťvje v metroch za sekundu (m / s).
• Zrýchlenieaalebo

​α​

(grécke písmeno alfa), zmena rýchlosti v čase, je v m / s / s alebo m / s². Čast jeza pár sekúnd. Ak sú prítomné, počiatočné a konečnédolné indexy​ (​iaf, alebo alternatívne0afkde0sa nazýva „nič“) označuje počiatočné a konečné hodnoty ktorejkoľvek z vyššie uvedených. Sú to konštanty v rámci ktoréhokoľvek problému a smer (napr.X) môžu byť v dolnom indexe a tiež poskytovať konkrétne informácie.

Zdvihový objem, rýchlosť a zrýchlenie súvektorové veličiny. To znamená, že majú veľkosť (číslo) aj smer, ktorý v prípade zrýchlenia nemusí byť smer, v ktorom sa častica pohybuje. Pri kinematických problémoch je možné tieto vektory rozdeliť na jednotlivé vektory zložené z x a y. Jednotky ako rýchlosť a vzdialenosť sú naopakskalárne veličinykeďže majú iba veľkosť.

Matematika potrebná na riešenie problémov s kinematikou sama o sebe nie je odstrašujúca. Naučiť sa priradiť správne premenné k správnym informáciám uvedeným v probléme, však môže byť spočiatku výzva. Pomáha určiť premennú, ktorú vás problém žiada vyhľadať, a potom zistiť, čo máte za túto úlohu.

Nasledujú štyri kinematické vzorce. Zatiaľ čo „x“ sa používa na demonštračné účely, rovnice sú rovnako platné pre smer „y“. Predpokladajme neustále zrýchlenieav akomkoľvek probléme (vo vertikálnom pohybe je to častog, zrýchlenie v dôsledku gravitácie blízko zemského povrchu a rovné 9,8 m / s²).

Upozorňujeme, že (1/2)(v ​​+​​ v₀)jepriemerná rýchlosť​.

Toto je preformulovanie myšlienky, že zrýchlenie je rozdiel v rýchlosti v čase, alebo a = (v - v₀) / t.

Forma tejto rovnice, kde počiatočná poloha (r₀) a počiatočná rýchlosť (v_0r) sú obidve nula je rovnica voľného pádu:y = - (1/2) gt​². Záporné znamienko označuje, že gravitácia urýchľuje objekty smerom dole alebo pozdĺž zápornej osi y v štandardnom referenčnom súradnicovom rámci.

Táto rovnica je užitočná, keď neviete (a nemusíte vedieť) čas.

Iný zoznam kinematických rovníc môže mať mierne odlišné vzorce, ale všetky popisujú rovnaké javy. Čím viac na ne položíte očné bulvy, tým viac sa s nimi zoznámia, aj keď budete stále relatívne nováčikom v riešení kinematických problémov.

Kinematické krivky sú bežné grafy znázorňujúce polohu vs. čas (Xvs.t), rýchlosť vs. čas (vvs.t) a zrýchlenie vs. čas (avs.t). V obidvoch prípadoch je čas nezávislou premennou a leží na vodorovnej osi. Takto sa vytvorí poloha, rýchlosť a zrýchleniezávislé premenné, a ako také sú na zvislej osi. (Keď sa v matematike a fyzike hovorí, že jedna premenná je „vykreslená proti“ inej, prvá je závislá premenná a druhá nezávislá premenná.)

Tieto grafy je možné použiť prekinematická analýzapohybu (zistiť, v ktorom časovom intervale bol objekt zastavený alebo sa napríklad zrýchľoval).

Tieto grafy súvisia aj v tom, že pre akýkoľvek daný časový interval, ak je pozícia vs. časový graf je známy, ďalšie dva je možné rýchlo vytvoriť analýzou jeho sklonu: rýchlosť vs. čas je sklon polohy vs. čas (keďže rýchlosť je rýchlosť zmeny polohy, alebo v kalkulárnom vyjadrení jej derivácia) a zrýchlenie vs. čas je sklon rýchlosti proti času (zrýchlenie je rýchlosť zmeny rýchlosti).

Na úvodných hodinách mechaniky majú študenti zvyčajne pokyn ignorovať účinky odporu vzduchu pri problémoch s kinematikou. V skutočnosti môžu byť tieto účinky značné a môžu častice výrazne spomaliť, najmä pri vyšších rýchlostiach, pretožeťažná silatekutín (vrátane atmosféry) je úmerná nielen rýchlosti, ale aj druhej mocnine rýchlosti.

Z tohto dôvodu kedykoľvek vyriešite problém vrátane zložiek rýchlosti alebo posunu a budete požiadaní, aby ste z výpočtu vynechali účinky odporu vzduchu, rozpoznajte že skutočné hodnoty by boli pravdepodobne o niečo nižšie a časové o niečo vyššie, pretože dostať sa z miesta na miesto vzduchom trvá dlhšie než základné rovnice predvídať.

Prvá vec, ktorú musíte urobiť pri konfrontácii s kinematickým problémom, je identifikácia premenných a ich zápis. Môžete napríklad vytvoriť zoznam všetkých známych premenných, napríklad x₀ = 0, v_0x = 5 m / s a ​​tak ďalej. To pomáha pripraviť pôdu pre výber, ktoré z kinematických rovníc vám najlepšie umožnia pokračovať v riešení.

Jednorozmerné problémy (lineárna kinematika) sa zvyčajne zaoberajú pohybom padajúcich predmetov, hoci nimi sú môžu zahŕňať veci obmedzené na pohyb v horizontálnej línii, napríklad auto alebo vlak na rovnej ceste alebo stopa.

​Príklady jednorozmernej kinematiky:​

​1. Čo jekonečná rýchlosťo cent spadnutý z vrcholu mrakodrapu vysokého 300 m (984 stôp)?​

Tu sa pohyb vyskytuje iba vo vertikálnom smere. Počiatočná rýchlosťv​_0r = 0, pretože cent spadol, nebol vyhodený. y - y₀alebo celková vzdialenosť je -300 m. Hodnota, ktorú hľadáte, je hodnota v_r (alebo v_fy). Hodnota zrýchlenia je –g alebo –9,8 m / s².

Preto použijete rovnicu:

Znižuje sa to na:

To funguje svižne a v skutočnosti smrteľne rýchlo (76,7 m / s) (1609,3 m) (3600 s / h) = 172,5 míle za hodinu. DÔLEŽITÉ: Druhá mocnina pojmu rýchlosti v tomto type problému zakrýva skutočnosť, že jeho hodnota môže byť záporná, ako v tomto prípade; vektor rýchlosti častice smeruje nadol pozdĺž osi y. Matematicky obojev= 76,7 m / s av= –76,7 m / s sú riešenia.

​2. Aký je posun automobilu, ktorý cestuje konštantnou rýchlosťou 50 m / s (asi 112 míľ za hodinu) okolo závodnej dráhy po dobu 30 minút, pričom v tomto procese absolvuje presne 30 kôl?​

Toto je trochu triková otázka. Prejdená vzdialenosť je iba produktom rýchlosti a času: (50 m / s) (1800 s) = 90 000 m alebo 90 km (asi 56 míľ). Ale zdvihový objem je nulový, pretože auto sa vinie na rovnakom mieste, kde štartuje.

​Príklady dvojrozmernej kinematiky:​

​3. Hráč bejzbalu vhodí loptu horizontálne rýchlosťou 100 míľ za hodinu (45 m / s) zo strechy budovy pri prvom probléme. Pred dopadom na zem vypočítajte, ako ďaleko to vodorovne prejde.​

Najprv musíte určiť, ako dlho je lopta vo vzduchu. Upozorňujeme, že napriek tomu, že lopta má zložku horizontálnej rýchlosti, stále ide o problém voľného pádu.

Najprv použite v​​ = v₀ + o a zapojte hodnoty v = –76,7 m / s, v₀ = 0 a a = –9,8 m / s² vyriešiť pre t, čo je 7,8 sekundy. Potom túto hodnotu dosaďte do rovnice konštantnej rýchlosti (pretože v smere x nedochádza k žiadnemu zrýchleniu)x = x₀ + vtvyriešiť pre x, celkový horizontálny posun:

alebo 0,22 míle.

Lopta by teda teoreticky pristála takmer štvrť míle od základne mrakodrapu.

Okrem poskytovania užitočných fyzických údajov o jednotlivých udalostiach možno na určenie vzťahov medzi rôznymi parametrami v rovnakom objekte použiť údaje týkajúce sa kinematiky. Ak je objektom ľudský športovec, v niektorých prípadoch existujú možnosti využitia údajov z fyziky, ktoré pomôžu zmapovať atletický tréning a určiť ideálne umiestnenie udalostí na trati.

Napríklad šprinty zahŕňajú vzdialenosti až 800 metrov (len asi pol míle), preteky na stredné trate zahŕňajú 800 metrov až asi 3 000 metrov a skutočné udalosti na diaľku sú 5 000 metrov (3 107 míľ) a nad. Ak preskúmate svetové rekordy naprieč bežiacimi udalosťami, uvidíte zreteľný a predvídateľný inverzný vzťah medzi vzdialenosťou medzi rasami (parameter polohy, povedzmeX) a rýchlosť svetového rekordu (v, alebo skalárna zložkav​).

Ak skupina športovcov beží sériu závodov na rôzne vzdialenosti, a rýchlosť vs. graf vzdialenosti sa vytvorí pre každého bežca, tí, ktorí sú lepší na dlhšie vzdialenosti, ukážu plochejšiu krivku, ako ich rýchlosť sa s pribúdajúcou vzdialenosťou menej spomaľuje v porovnaní s bežcami, ktorých prirodzené „sladké miesto“ je kratšie vzdialenosti.

Isaac Newton (1642-1726) bol podľa akejkoľvek miery jedným z najpozoruhodnejších intelektuálnych exemplárov, aké kedy ľudstvo zažilo. Okrem toho, že bol spoluzakladateľom matematickej disciplíny počtu, jeho aplikácia matematiky vo fyzikálnych vedách pripravila cestu. pre priekopnícky skok a trvalé predstavy o translačnom pohybe (tu diskutovanom), ako aj rotačnom pohybe a kruhovom pohybe pohyb.

Pri založení úplne novej vetvy klasickej mechaniky Newton objasnil tri základné zákony o pohybe častice.Newtonov prvý zákonuvádza, že objekt pohybujúci sa konštantnou rýchlosťou (vrátane nuly) zostane v tomto stave, pokiaľ nie je narušený nevyváženou vonkajšou silou. Na Zemi je gravitácia prakticky vždy prítomná.Newtonov druhý zákontvrdí, že čistá vonkajšia sila pôsobiaca na objekt s hmotnosťou núti tento objekt akcelerovať:F_sieť= ma​. ​Tretí Newtonov zákonnavrhuje, aby pre každú silu existovala sila rovnakej veľkosti a opačného smeru.