Moment hybnosti: definícia, rovnica, jednotky (s diagrammi a príkladmi)

Zvážte scénu: Vy a priateľ stojíte z dôvodu problémov, ktoré nemôžete ovplyvniť, na vrchole dlhej rampy sklonenej smerom nadol. Každý z vás dostal loptu s polomerom presne 1 m. Bolo vám povedané, že váš je vyrobený z rovnomerného penového materiálu a má hmotnosť 5 kg. Lopta vášho priateľa má tiež hmotnosť 5 kg, čo overíte praktickou váhou.

Váš priateľ sa vás chce staviť, že ak uvoľníte obe gule súčasne, tá vaša sa najskôr dostane dnu. Ste v pokušení tvrdiť, že keďže guľky majú rovnakú hmotnosť a rovnaký polomer (a teda aj objem), budú sa pri zostupe urýchľovať gravitáciou po rampe na rovnakú rýchlosť. Ale niečo zastaví vašu stávkovú „hybnosť“ a vy neberiete stávku ...

... múdro, ako sa ukáže. Aj keď to zo začiatku nemá zmysel, loptička vášho priateľa sa podľa všetkého objavuje ako tvoje dvojčatá, pohybuje sa po rampe pomalšie ako tá vaša. Po skončení experimentu požadujete demontáž loptičiek a kontrolu ich prítomnosti. Namiesto toho nájdete iba to, že 5 kg hmotnosti v guli vášho priateľa bolo z vonkajšej strany s vnútornou priehlbinou obmedzené na tenkú škrupinu.

Čo vyššie popísaná konfigurácia nakloní hodnotu v v prospech vašej lopty? Ako sa stáva, rovnakosilyzmeniťlineárna hybnosťpredmetov slineárna rýchlosť​, ​krútiace momentyzmeniťmoment hybnostipredmetov suhlová rýchlosť​.

Tuhý valivý objekt má lineárnu hybnosť aj moment hybnosti, pretože keď sa jeho stred hmoty pohybuje konštantnou rýchlosťou v (rovnaká k tangenciálnej rýchlosti lopty alebo kolesa) sa každá ďalšia časť objektu otáča okolo tohto ťažiska s uhlovou rýchlosťou ω.

To, ako je hmota distribuovaná v objekte, nemá žiadny vplyv na jeho lineárnu hybnosť, ale mimoriadne určuje jeho moment hybnosti. Robí to prostredníctvom „hromadnej“ (na rotačné účely) veličiny nazývanej moment zotrvačnosti, vyššie hodnoty ktoré znamenajú väčšie ťažkosti s otáčaním niečoho aj väčšie ťažkosti s jeho zastavením, akonáhle to už je rotačný.

Moment hybnosti je mierou toho, ako ťažké je zmeniť rotačný pohyb objektu. Závisí to od momentu zotrvačnosti objektu a jeho uhlovej rýchlosti. Uhlová hybnosť je konzervovaná veličina, čo znamená, že súčet uhlového momentu častíc v uzavretom systéme je vždy rovnaký, aj keď môže dôjsť k kolísaniu momentu jednotlivých častíc.

Moment hybnosti je, ako je uvedené, tiež funkciou rozloženia hmoty okolo osi. Aby ste to dosiahli intuitívne, predstavte si, že stojíte 1 stopu od stredu obrovského kolotoča, ktorý robí jednu revolúciu každých 10 sekúnd. Teraz si predstavte, že stojíte na jednej maškrte s rovnakou uhlovou rýchlosťoumíľaod centra. Na to, aby sme si v týchto dvoch scenároch predstavili rozdiel v momente hybnosti, netreba veľa predstavivosti.

​Uhlová hybnosť je súčinom momentu zotrvačnosti krát jeho uhlová rýchlosť, alebo:
​

kdeĽ= moment hybnosti v kg ∙ m²/s,Ja= moment zotrvačnosti v kg ∙ m²a ω = uhlová rýchlosť v radiánoch za sekundu (rad / s).

• ​Jasa nazýva aj druhý okamih oblasti.

Upozorňujeme, že diskusia sa rozšírila z bodovej hmoty na pevné teleso, ako je napríklad valec alebo guľa, ktoré sa otáčajú okolo osi. Ťažisko objektu často nie je na svojom miestegeometrickýcentrum, takže hodnotyJazávisí od toho, ako je rozložená hmotnosť objektu. Často je to symetrické, ale nie rovnomerné, napríklad dutý disk so všetkou hmotou v tenkom páse zvonka (inými slovami krúžok).

Vektor uhlovej hybnosti smeruje pozdĺž osi rotácie, kolmo na rovinu tvorenúr, kruhový „pohyb“ ľubovoľného bodu v objekte priestorom.

Referenčný graf pre hodnotuJapre rôzne bežné tvary sa nachádza v zdrojoch. Pomocou nich môžete začať s niekoľkými základnými problémami momentu hybnosti.

• Poznač si toJapre sférický plášť je (2/3) mr² zatiaľ čo sféra je (2/5) mr². Keď sa vrátime k stávke v úvode, teraz vidíte, že lopta vášho priateľa má (2/3) / (2/5) = 1,67-násobok momentu zotrvačnosti ako vaša vlastná, čo vysvetľuje vašu výhru v „závode“.

1. Disk s rotačnou zotrvačnosťouJa1,5 kg ∙ m²/ s sa otáča okolo osi s uhlovou rýchlosťouω8 rad / s. Aký je jeho moment hybnostiĽ​?

2. Tenká tyč dlhá 15 m s hmotnosťou 5 kg - povedzme ruka veľkých hodín - sa otáča okolo bodu, ktorý je na jednom konci pripevnený uhlovou rýchlosťouω2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Aká je jeho moment hybnostiĽ​?

Tentokrát si musíte vyhľadať hodnotuJa. Pre tenký prút pohybujúci sa týmto spôsobom,Ja= (1/3) mr²​.

Porovnajte to s odpoveďou v prvom príklade. Prekvapuje vás to? Prečo áno alebo prečo nie?

„Ochrana“ znamená vo fyzike niečo trochu iné ako v oblasti ekosystémov. Znamená to jednoducho, že celkové množstvo konzervovaných veličín (energia, hybnosť, hmotnosť a zotrvačnosť sú) „veľká štvorka“ konzervovaných veličín vo fyzike) v systéme, vrátane vesmíru, vždy zostáva to isté. Ak sa pokúsite „eliminovať“ energiu, prejaví sa to jednoducho v inej podobe a akýkoľvek pokus „vytvoriť“ sa spolieha na už existujúci zdroj.

Zákon zachovania momentu hybnosti hovorí, že v uzavretom systéme sa celkový moment hybnosti nemôže meniť. Pretože moment hybnosti závisí od uhlovej rýchlosti a momentu zotrvačnosti, dá sa predpovedať, ako sa potom musí jedna z týchto veličín v danej situácii navzájom meniť.

• Formálne, keďže krútiaci moment možno vyjadriť akoτ= dĽ/ dt (rýchlosť zmeny, ak je moment hybnosti v čase), keď je súčet krútiacich momentov v systéme nulový, potom dĽ/ dt musí byť tiež nula a v časovom rámci, v ktorom sa systém hodnotí, sa v systéme nemení žiadna hybná sila. Naopak, ak L nie je konštantná, znamená to nerovnováhu krútiacich momentov v systéme (t.j.τ_sieťjenierovná nule).

Toto je dôležitý koncept v mnohých príkladoch mechaniky z každodenného života. Klasickým príkladom je korčuliar na ľade: Keď skočí do vzduchu a urobí trojitý axel, pevne vtiahne končatiny. To zmenšuje jej celkový polomer okolo osi rotácie, mení sa jej rozloženie hmoty tak, že sa znižuje jej moment zotrvačnosti (pamätajte,Jaje úmerný mr²​).

Pretože moment hybnosti je zachovaný, akJaklesá, musí sa zvyšovať jej uhlová rýchlosť; takto sa točí dostatočne rýchlo na to, aby absolvovala niekoľko rotácií vo vzduchu! Keď pristane, urobí naopak - roztiahne svoje končatiny, zmení svoje rozloženie hmotnosti, aby zvýšila svoj moment zotrvačnosti, a spomalí tak rýchlosť otáčania (uhlovú rýchlosť).

Celkovo je moment hybnosti systému konštantný, ale s premennými, ktoré určujú veľkosť momentu hybnosti, je možné manipulovať, a to strategicky, ako v tomto prípade.

Od roku 1600 sa Isaac Newton pustil do efektívnych revolúcií v matematickej fyzike. Spolu s vynálezcom kalkulu mal dobrú pozíciu, aby mohol formálne tvrdiť o pravdepodobne univerzálnych zákonoch riadiaci pohyb objektov, translačný (lineárne aj v priestore) a rotačný (cyklicky a okolo) os).

• Rôznezákony o ochrane prírodyktoré neskôr dostanú dostatočnú zmienku, nie sú Newtonovými duchovnými deťmi, existujú však významné vzťahy medzi nimi a zákonmi pohybu.

​Newtonov prvý zákonuvádza, že predmet v pokoji alebo pohybujúci sa konštantnou rýchlosťou zostane v tomto stave, pokiaľ na objekt nepôsobí vonkajšia sila. Toto sa tiež nazývazákon zotrvačnosti.​

​Newtonov druhý zákontvrdí, že čistá silaF_sieťpôsobí na časticu s hmotoum, bude mať tendenciu meniť rýchlosť tejto hmoty alebo ju urýchľovať. Tento slávny vzťah je vyjadrený matematicky akoF_sieť= ma​.

​Newtonov tretí zákonhovorí, že pre každú silu, ktorá existuje v prírode, existuje sila rovnakej veľkosti, ktorá však ukazuje presne opačným smerom. Tento zákon má dôležité dôsledky na konzervované vlastnosti pohybu vrátane hybnosti.

Teraz je vynikajúci čas na preskúmanie povahy, pravidiel a vzťahov medzi nimisila​, ​spád(hromadná rýchlosť) aenergie, ktoré informujú nielen diskusie o hybnosti, ale aj všetko ostatné v klasickej fyzike.

Ako bolo uvedené, pokiaľ predmet nezažije vonkajšiu silu (alebo v prípade rotujúceho objektu vonkajší krútiaci moment), jeho pohyb nebude ovplyvnený. Na Zemi je však gravitácia prakticky vždy v zmesi, rovnako ako menší prispievateľ k odporu vzduchu a rôznym druhom trenia. sily, takže sa nič jednoducho nehýbe, pokiaľ občas nedostaneme energiu, ktorá nahradí to, čo „berie“ tento chronický „pohyb zlodeji. “

Pre zjednodušenie má častica acelková energiaskladajúci sa zvnútorná energia(napr. vibrácie jeho molekúl) amechanická energia. Mechanická energia je zase súčetpotenciálna energia(PE; „uskladnená“ energia, zvyčajne gravitáciou) aKinetická energia(KE; energia pohybu). Užitočné je, že PE + KE + IE = konštanta pre všetky systémy, či už je to bodová hmota (jednotlivá častica) alebo rôzne svišťajúce, interagujúce hmoty.

Keď počujete výrazy súvisiace s pohybom, ako napríklad rýchlosť, zrýchlenie, posunutie a hybnosť, pravdepodobne predvolene predpokladáte, že kontext je lineárny pohyb. Rotačný pohyb má v skutočnosti svoje vlastné jedinečné, ale analogické veličiny.

Zatiaľ čo lineárny posun sa meria v metroch (m) v jednotkách SI, uhlový posun sa meria v radiánoch (2π rad = 360 stupňov). V súlade s týmuhlová rýchlosťsa meria v rad / s a ​​predstavuje saω, grécke písmeno omega.

Keď sa však bodová hmota pohybuje okolo svojej osi otáčania, okrem uhlovej rýchlosti častica sleduje aj kruhovú dráhu pri danej rýchlosti, ktorá sa podobá lineárnemu pohybu. Táto sadzba jetangenciálna rýchlosť​ ​v_t​​,a rovná sa rω,kderje polomer alebo vzdialenosť od osi otáčania.

S tým súvisiaceuhlové zrýchlenie​ ​α(Grécky alfa) je rýchlosť zmeny uhlovej rýchlostiωa meria sa v rad / s². K dispozícii je tieždostredivé zrýchlenie​ ​a_cdanáv_t²/r,ktorý smeruje dovnútra k osi otáčania.

• Pri diskusii o momente hybnosti bol náprotivkom mvlineárne, čoskoro bude podrobne diskutovaný, vedzte, že jedna z jeho zložiek,Ja, možno považovať za rotačný analóg hmotnosti.

Moment hybnosti, ako je sila, posun, rýchlosť a zrýchlenie, je avektorové množstvo, pretože také premenné zahŕňajú arozsah(t. j. číslo) a asmer, často dané výrazy jeho jednotlivých zložiek x-, y- a z. Veličiny, ktoré obsahujú iba numerický prvok, ako napríklad hmotnosť, čas, energia a práca, sú známe akoskalárne veličiny​.