Если вам нравятся математические странности, вам понравится треугольник Паскаля. Названный в честь французского математика 17 века Блеза Паскаля и известный китайцам за много веков до Паскаля как треугольник Янхуи, это на самом деле больше, чем странность. Это особое расположение чисел, которое невероятно полезно в алгебре и теории вероятностей. Некоторые из его характеристик больше озадачивают и интересны, чем полезны. Они помогают проиллюстрировать таинственную гармонию мира, описываемую числами и математикой.
Правило построения треугольника Паскаля не могло быть проще. Начните с числа один на вершине и сформируйте второй ряд под ним из пары единиц. Чтобы построить третий и все последующие ряды, начните с размещения одного в начале и в конце. Выведите каждую цифру между этой парой единиц, добавив две цифры непосредственно над ней. Таким образом, третья строка - это 1, 2, 1, четвертая строка - это 1, 3, 3, 1, пятая строка - это 1, 4, 6, 4, 1 и так далее. Если каждая цифра занимает прямоугольник того же размера, что и все другие прямоугольники, расположение будет идеальным. равносторонний треугольник, ограниченный с двух сторон единицами и имеющий длину основания, равную номеру ряда. Строки симметричны в том смысле, что они читаются одинаково вперед и назад.
Паскаль открыл треугольник, который веками был известен персидским и китайским философам, когда изучал алгебраическое разложение выражения (x + y)п. Когда вы расширяете это выражение до n-й степени, коэффициенты членов разложения соответствуют числам в n-й строке треугольника. Например, (x + y)0 = 1; (х + у)1 = х + у; (х + у)2 = х2 + 2xy + y2 и так далее. По этой причине математики иногда называют расположение треугольником биномиальных коэффициентов. Для больших чисел n, очевидно, легче считывать коэффициенты разложения из треугольника, чем вычислять их.
Предположим, вы подбрасываете монету определенное количество раз. Сколько комбинаций решки и орла вы можете получить? Вы можете узнать это, посмотрев на строку в треугольнике Паскаля, которая соответствует количеству раз, когда вы подбрасываете монету, и сложив все числа в этой строке. Например, если вы подбросите монету 3 раза, есть 1 + 3 + 3 + 1 = 8 возможностей. Таким образом, вероятность получить один и тот же результат три раза подряд составляет 1/8.
Точно так же вы можете использовать треугольник Паскаля, чтобы найти, сколькими способами вы можете комбинировать объекты или варианты из заданного набора. Предположим, у вас есть 5 мячей, и вы хотите знать, сколькими способами вы можете выбрать два из них. Просто перейдите к пятой строке и посмотрите на вторую запись, чтобы найти ответ - 5.
